Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 12.) y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+y=x^{2} e^{-x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 2y' + y = x^2 e^{-x}\cos x.
Para resolver precisamos (1) encontrar a solução geral da homogênea; (2) obter uma particular para o termo não homogêneo, que aqui é um polinômio multiplicado por e^{-x}\cos x. Usaremos a transformação y=e^{-x}z para simplificar.

Passo 2

Estudamos a homogênea
y'' + 2y' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 2r + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r+1)^2 = 0,
com raiz dupla r = -1. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x}.

Passo 3

Fazemos a troca de função
y = e^{-x} z(x).
Calculando
y' = e^{-x}(z' - z), \quad y'' = e^{-x}(z'' - 2z' + z),
temos ao substituir em y''+2y'+y tudo se combina e sobra
e^{-x}z''(x) \;=\; x^2 e^{-x}\cos x.
Multiplicando por e^x obtemos
z''(x) = x^2 \cos x.

Passo 4

Integramos z''(x) = x^2\cos x uma vez para achar z'. Usando integração por partes em
\int x^2\cos x\,dx
obtemos
\int x^2\cos x\,dx = x^2\sin x - 2\int x\sin x\,dx = x^2\sin x +2x\cos x -2\sin x + A,
onde A é constante de integração. Logo
z'(x) = x^2\sin x +2x\cos x -2\sin x + A.

Passo 5

Agora integramos para ter z.
z(x) = \int\bigl(x^2\sin x +2x\cos x -2\sin x + A\bigr)\,dx + B.
Calculando termo a termo:
\int x^2\sin x\,dx = -x^2\cos x +2x\sin x +2\cos x, \quad \int 2x\cos x\,dx = 2x\sin x +2\cos x, \quad \int -2\sin x\,dx = 2\cos x, \quad \int A\,dx = A x.
Somando e incluindo B
z(x) = -x^2\cos x +4x\sin x +6\cos x + A x + B.

Passo 6

Voltando a y = e^{-x}z(x), obtemos a solução geral
y(x) = e^{-x}\bigl(-x^2\cos x +4x\sin x +6\cos x + A x + B\bigr).
Reconhecendo que A e B geram exatamente as duas constantes da homogênea, podemos escrever
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x} + e^{-x}\bigl(-x^2\cos x +4x\sin x +6\cos x\bigr).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1 e^{-x} + C_2\,x e^{-x} + e^{-x}\bigl(-x^2\cos x +4x\sin x +6\cos x\bigr).}

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