Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função
:
- 12.)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Para resolver precisamos (1) encontrar a solução geral da homogênea; (2) obter uma particular para o termo não homogêneo, que aqui é um polinômio multiplicado por
. Usaremos a transformação
para simplificar.
Passo 2
Estudamos a homogênea
A equação característica é
com raiz dupla
. Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Fazemos a troca de função
Calculando
temos ao substituir em
tudo se combina e sobra
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Integramos
uma vez para achar
. Usando integração por partes em
obtemos
onde
é constante de integração. Logo
Passo 5
Agora integramos para ter
.
Calculando termo a termo:
Somando e incluindo
dá
Passo 6
Voltando a
, obtemos a solução geral
Reconhecendo que
e
geram exatamente as duas constantes da homogênea, podemos escrever