Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 9.) x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+13 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
x^{2}y''+5x\,y'+13y=0,
que é uma equação de Cauchy–Euler. Para resolvê-la, vamos usar o método da solução do tipo y=x^{r}, que leva a uma equação característica para r.

Passo 2

Suponha
y=x^{r}.
Então
y'=r\,x^{r-1},\qquad y''=r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo em \displaystyle x^{2}y''+5x\,y'+13y=0 obtemos
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr]+5x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr]+13\,x^{r}=0
e, fatorando x^{r}\neq0,
r(r-1)+5r+13=0.

Passo 3

A equação característica é
r^{2}-r+5r+13=r^{2}+4r+13=0.
Resolvendo,
r=\frac{-4\pm\sqrt{16-52}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-36}}{2}=-2\pm3\,i.

Passo 4

Para raízes complexas r=\alpha\pm i\beta com \alpha=-2 e \beta=3, a solução geral real é
y(x)=x^{\alpha}\Bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x)+C_{2}\sin(\beta\ln x)\Bigr).
Substituindo \alpha e \beta chega-se a

Resposta

y(x)=x^{-2}\bigl(C_{1}\cos(3\ln x)+C_{2}\sin(3\ln x)\bigr),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados