Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 11.) y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=2 e^{3 x}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 5y' + 6y = 2e^{3x}
O que precisamos é a solução geral y(x), que é a soma da solução da homogênea associada e de uma solução particular.

Passo 2

Escrevemos a equação homogênea associada:
y'' - 5y' + 6y = 0.
Aplicamos o método do polinômio característico, substituindo y=e^{r x} para obter
r^2 - 5r + 6 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 - 5r + 6 = (r-2)(r-3)=0
obtemos as raízes r_1 = 2 e r_2 = 3. Assim a solução da homogênea é
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}.

Passo 4

Para uma solução particular y_p da não homogênea, o termo forçante é 2e^{3x}. Como r=3 é raiz simples do polinômio característico, multiplicamos o palpite usual Ae^{3x} por x. Logo escolhemos
y_p = A\,x\,e^{3x}.

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p' = A e^{3x} + 3A x e^{3x}, \quad y_p'' = 6A e^{3x} + 9A x e^{3x}.
Substituindo na equação diferencial:
y_p'' -5y_p' +6y_p = \bigl(6A e^{3x}+9A x e^{3x}\bigr) -5\bigl(A e^{3x}+3A x e^{3x}\bigr) +6\bigl(A x e^{3x}\bigr) = A e^{3x}.
Para que isso seja igual a 2e^{3x}, precisamos de A=2.

Passo 6

Assim a solução particular é
y_p = 2x e^{3x}
e a solução geral da equação original é
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + 2x e^{3x}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} + 2x e^{3x}.

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