Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função
:
- 11.)
Passo 1
O enunciado apresenta a equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O que precisamos é a solução geral
, que é a soma da solução da homogênea associada e de uma solução particular.
Passo 2
Escrevemos a equação homogênea associada:
Aplicamos o método do polinômio característico, substituindo
para obter
Passo 3
Resolvendo
obtemos as raízes
e
. Assim a solução da homogênea é
Passo 4
Para uma solução particular
da não homogênea, o termo forçante é
. Como
é raiz simples do polinômio característico, multiplicamos o palpite usual
por
. Logo escolhemos
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Para que isso seja igual a
, precisamos de
.
Passo 6
Assim a solução particular é
e a solução geral da equação original é