Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 13.) y d x+\left(2 x-y e^{y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y\,dx + \bigl(2x - y\,e^{y}\bigr)\,dy = 0
para y=y(x).
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar a exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante em função de y.

Passo 2

Denotando
M(x,y) = y, \quad N(x,y)=2x - y\,e^{y},
verificamos
\frac{\partial M}{\partial y} = 1, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=2.
Como 1\neq2, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante \mu(y) de forma que
\frac{1}{M}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr)
seja função apenas de y. De fato,
\frac{1}{M}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr) =\frac{2-1}{y}=\frac{1}{y},
que depende só de y. Logo
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int\frac{1}{y}dy\Bigr)=e^{\ln y}=y.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por \mu(y)=y, obtendo
y^2\,dx + \bigl(2xy - y^2 e^y\bigr)\,dy = 0.
Agora definimos
\widetilde M(x,y)=y^2, \quad \widetilde N(x,y)=2xy - y^2 e^y,
e checamos
\frac{\partial \widetilde M}{\partial y}=2y, \quad \frac{\partial \widetilde N}{\partial x}=2y,
portanto a equação é exata.

Passo 4

Como é exata, existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=\widetilde M=y^2 \quad\Longrightarrow\quad \psi(x,y)=x\,y^2 + h(y).
Para determinar h(y), usamos
\frac{\partial \psi}{\partial y} =2x\,y + h'(y)
e igualamos a \widetilde N:
2x\,y + h'(y)=2x\,y - y^2 e^y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-y^2 e^y.
Integrando em y:
h(y) = -\int y^2 e^y\,dy.
Fazendo integração por partes ou lembrando fórmula padrão,
\int y^2 e^y\,dy=(y^2-2y+2)e^y + C,
logo
h(y) = -\bigl(y^2-2y+2\bigr)e^y.
Assim,
\psi(x,y) = x\,y^2 -\bigl(y^2-2y+2\bigr)e^y
é constante.

Resposta

A solução geral fica
x\,y^2 -\bigl(y^2-2y+2\bigr)e^y = C,
onde C é a constante de integração.

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