Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função
:
- 13.)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
para
.
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar a exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante em função de .
O conteúdo envolvido é o de equações diferenciais exatas e fator integrante. Vamos verificar a exatidão e, se necessário, encontrar um fator integrante em função de
Passo 2
Denotando
verificamos
Como
, a equação não é exata. Procuramos um fator integrante
de forma que
seja função apenas de
. De fato,
que depende só de
. Logo
Passo 3
Multiplicamos toda a equação original por
, obtendo
Agora definimos
e checamos
portanto a equação é exata.
Passo 4
Como é exata, existe uma função potencial
tal que
Para determinar
, usamos
e igualamos a
:
Integrando em
:
Fazendo integração por partes ou lembrando fórmula padrão,
logo
Assim,
é constante.
Resposta
A solução geral fica
onde
é a constante de integração.