Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 14.) y d x+\left(2 x y-e^{-2 y}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
y\,dx + \bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\,dy = 0,
que é uma equação diferencial de primeira ordem. Vamos verificar se ela é exata ou se precisamos de um fator integrante.

Passo 2

Escrevendo M(x,y)=y e N(x,y)=2xy - e^{-2y}, calculamos
\frac{\partial M}{\partial y}=1, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=2y.
Como 1\neq 2y, a equação não é exata. Testamos então se existe fator integrante dependente só de y. Para isso, avaliamos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}}{M} =\frac{2y - 1}{y} =2 - \frac1y,
que depende apenas de y. Logo, há um fator integrante \mu(y).

Passo 3

O fator integrante satisfaz
\frac{\mu'(y)}{\mu(y)}=2 - \frac1y,
portanto
\mu(y)=\exp\!\Bigl(\int\bigl(2 - \tfrac1y\bigr)\,dy\Bigr) =\exp\bigl(2y - \ln|y|\bigr) =\frac{e^{2y}}{y}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(y) obtemos
\underbrace{y\cdot\frac{e^{2y}}{y}}_{\displaystyle \tilde M}\,dx + \underbrace{\bigl(2xy - e^{-2y}\bigr)\frac{e^{2y}}{y}}_{\displaystyle \tilde N}\,dy =0 \quad\Longrightarrow\quad e^{2y}\,dx +\Bigl(2x e^{2y}-\tfrac1y\Bigr)\,dy=0.
Agora é exata, pois \partial\tilde M/\partial y=2e^{2y}=\partial\tilde N/\partial x.

Passo 5

Procuramos uma função potencial \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=e^{2y} \quad\Longrightarrow\quad \varphi(x,y)=x e^{2y}+h(y).
Depois, impomos
\frac{\partial\varphi}{\partial y} =2x e^{2y}+h'(y) \;\stackrel!=\; 2x e^{2y}-\frac1y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-\frac1y \;\Longrightarrow\; h(y)=-\ln\lvert y\rvert.

Passo 6

A solução implícita é
\varphi(x,y)=x e^{2y}-\ln\lvert y\rvert=C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

x e^{2y} - \ln\lvert y\rvert = C.

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