Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função
:
- 13.)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante
. Para resolver, vamos usar o método de coeficientes indeterminados, isto é, primeiro achamos a solução complementar da equação homogênea associada e depois uma solução particular para toda a equação.
Passo 2
A parte homogênea é
A equação característica é
logo
Isso dá a solução complementar
com
e
constantes arbitrárias.
Passo 3
O termo não homogêneo é
, cuja frequência
coincide com a da solução complementar (ressonância). Portanto, a forma de palpite para a solução particular deve ser multiplicada por
. Tomamos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
e
Passo 5
Substituindo em
:
Esse resultado deve ser igual a
. Assim, igualando coeficientes:
Logo a solução particular é
Passo 6
A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular: