Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 13.) y^{\prime \prime}+4 y=\sin (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' + 4y = \sin(2x),
que é uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante \sin(2x). Para resolver, vamos usar o método de coeficientes indeterminados, isto é, primeiro achamos a solução complementar da equação homogênea associada e depois uma solução particular para toda a equação.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0
logo
r = \pm 2\,i.
Isso dá a solução complementar
y_c = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x),
com C_1 e C_2 constantes arbitrárias.

Passo 3

O termo não homogêneo é \sin(2x), cuja frequência 2 coincide com a da solução complementar (ressonância). Portanto, a forma de palpite para a solução particular deve ser multiplicada por x. Tomamos
y_p = x\bigl(A\cos(2x) + B\sin(2x)\bigr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p = A\,x\cos(2x) + B\,x\sin(2x),
y_p' = A\cos(2x) -2A\,x\sin(2x) + B\sin(2x) +2B\,x\cos(2x),
y_p' = \bigl(A\cos(2x)+B\sin(2x)\bigr) + x\bigl(-2A\sin(2x)+2B\cos(2x)\bigr),
e
y_p'' = -4A\sin(2x) +4B\cos(2x) + x\bigl(-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)\bigr).

Passo 5

Substituindo em y''+4y:
y_p'' + 4y_p = \bigl[-4A\sin(2x)+4B\cos(2x)\bigr] + x\bigl[-4A\cos(2x)-4B\sin(2x)+4A\cos(2x)+4B\sin(2x)\bigr]
= -4A\sin(2x)+4B\cos(2x).
Esse resultado deve ser igual a \sin(2x). Assim, igualando coeficientes:
-4A = 1 \quad\Longrightarrow\quad A = -\tfrac14,
4B = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = 0.
Logo a solução particular é
y_p = -\tfrac{x}{4}\cos(2x).

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da complementar com a particular:
y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) \;-\;\frac{x}{4}\cos(2x).

Resposta

\boxed{y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) - \frac{x}{4}\cos(2x).}

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