Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função
:
- 14.)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
Vamos usar a ideia de que a solução geral é
onde
é a solução da homogênea e
uma particular. Para o termo
aplicaremos coeficientes a determinar, e para
usaremos variação de parâmetros.
Passo 2
Resolvendo a homogênea
temos a equação característica
Logo
Passo 3
Para achar uma particular
tal que
tentamos
Calculando derivadas:
Substituindo em
obtém-se
que deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Logo
Passo 4
Para a parte
usamos variação de parâmetros com
,
e wronskiana
. Definimos
onde
. Integrando:
Assim
Passo 5
Somando tudo, a solução geral é