Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 14.) y^{\prime \prime}+y=4 x e^{x}+\frac{1}{\sin x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea
y'' + y = 4x e^x + \frac{1}{\sin x}.
Vamos usar a ideia de que a solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
onde y_h é a solução da homogênea e y_p uma particular. Para o termo 4x e^x aplicaremos coeficientes a determinar, e para \tfrac1{\sin x} usaremos variação de parâmetros.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + y = 0
temos a equação característica
r^2 + 1 = 0 \implies r = \pm i.
Logo
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x.

Passo 3

Para achar uma particular y_{p1} tal que
y'' + y = 4x e^x,
tentamos
y_{p1} = e^x\,(A x + B).
Calculando derivadas:
y_{p1}' = e^x(Ax + B + A), \quad y_{p1}'' = e^x(Ax + B + 2A).
Substituindo em y''+y obtém-se
y_{p1}'' + y_{p1} = e^x(Ax + B + 2A) + e^x(Ax + B) = 2e^x\bigl(Ax + (A+B)\bigr),
que deve ser igual a 4x e^x. Igualando coeficientes:
2A = 4 \implies A = 2, \quad 2(A+B)=0 \implies B = -2.
Logo
y_{p1}(x) = e^x\,(2x - 2).

Passo 4

Para a parte
y'' + y = \frac{1}{\sin x}
usamos variação de parâmetros com y_1=\cos x, y_2=\sin x e wronskiana W=1. Definimos
u_1' = -\frac{y_2\,f}{W} = -1, \quad u_2' = \frac{y_1\,f}{W} = \cot x,
onde f(x)=1/\sin x. Integrando:
u_1 = -\int 1\,dx = -x, \quad u_2 = \int \cot x\,dx = \ln\lvert\sin x\rvert.
Assim
y_{p2}(x) = u_1\,y_1 + u_2\,y_2 = -x\cos x + \ln\lvert\sin x\rvert\,\sin x.

Passo 5

Somando tudo, a solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + e^x(2x - 2) - x\cos x + \sin x\,\ln\lvert\sin x\rvert.

Resposta

y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + e^x(2x - 2) - x\cos x + \sin x\,\ln\lvert\sin x\rvert.

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