Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais para função y=y(x) :
  • 15.) 3 x^{2} y d x+\left(y+x^{3}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
3x^{2}y\,dx + \bigl(y + x^{3}\bigr)\,dy = 0
O conteúdo é equações diferenciais exatas: vamos checar se ela é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=3x^{2}y \quad\text{e}\quad \frac{\partial F}{\partial y}=y+x^{3}.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\bigr)=3x^{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y+x^{3}\bigr)=3x^{2}.
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Para achar F(x,y), integramos M(x,y)=3x^{2}y em relação a x:
F(x,y)=\int 3x^{2}y\,dx = x^{3}y + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Agora usamos a condição \partial F/\partial y = y + x^{3}. Calculando em F:
\frac{\partial F}{\partial y} = x^{3} + h'(y) \stackrel{!}{=} y + x^{3} \;\Longrightarrow\;h'(y)=y \;\Longrightarrow\;h(y)=\frac{y^{2}}{2}.

Passo 5

Substituindo em F, obtemos a função potencial
F(x,y) = x^{3}y + \frac{y^{2}}{2},
cuja diferencial dF=0 reproduz a equação dada. Portanto, a solução geral é
x^{3}y + \frac{y^{2}}{2} = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

x^{3}y + \frac{y^{2}}{2} = C.

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