Determine o domínio e a imagem das funções:
Passo 1
O enunciado pede o domínio e a imagem da função
O conteúdo envolve domínio de funções reais de duas variáveis (compostas de polinômios e exponencial) e determinação da imagem, analisando sinais e resolvendo a equação
.
Passo 2
Para achar o domínio, observamos que
é um polinômio definido para todo
e
é a função exponencial, também definida para todo
. Logo, não há restrição de nenhum tipo.
Domínio:
Domínio:
Passo 3
Para estudar a imagem, primeiro notamos que
para todo
e
para todo
. Portanto
com igualdade se, e somente se,
. Assim todo valor de
é não-negativo.
Passo 4
Verificamos quais valores não-negativos são efetivamente assumidos.
- Se
, então para qualquer , de modo que pertence à imagem. - Para um dado
, escolhemos qualquer (por exemplo ) e resolvemos
Isso mostra que todo
também é atingido.
Logo a imagem é o intervalo fechado de zero ao infinito.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Imagem: