Determine o domínio e a imagem das funções:
f(x, y)=x^{2} e^{3 x y}

Passo 1

O enunciado pede o domínio e a imagem da função
f(x,y) = x^{2} e^{3xy}.
O conteúdo envolve domínio de funções reais de duas variáveis (compostas de polinômios e exponencial) e determinação da imagem, analisando sinais e resolvendo a equação f(x,y)=t.

Passo 2

Para achar o domínio, observamos que x^{2} é um polinômio definido para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2} e e^{3xy} é a função exponencial, também definida para todo 3xy\in\mathbb{R}. Logo, não há restrição de nenhum tipo.
Domínio:
D(f)=\mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Para estudar a imagem, primeiro notamos que x^{2}\ge0 para todo x e e^{3xy}>0 para todo (x,y). Portanto
f(x,y)=x^{2}e^{3xy}\ge0,
com igualdade se, e somente se, x=0. Assim todo valor de f é não-negativo.

Passo 4

Verificamos quais valores não-negativos são efetivamente assumidos.
  1. Se x=0, então f(0,y)=0 para qualquer y, de modo que 0 pertence à imagem.
  2. Para um dado t>0, escolhemos qualquer x\neq0 (por exemplo x=1) e resolvemos
1^{2}e^{3\cdot1\cdot y}=t \quad\Longrightarrow\quad e^{3y}=t \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{1}{3}\ln(t).
Isso mostra que todo t>0 também é atingido.
Logo a imagem é o intervalo fechado de zero ao infinito.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}^{2}
Imagem: [0,\infty)

Exercícios relacionados