Determine o domínio e a imagem das funções:
f(x, y)=e^{\sqrt{y-x^{2}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = e^{\sqrt{y - x^2}}
e pede o domínio e a imagem. Para isso, vamos usar a condição de existência do radical (argumento não negativo) e depois analisar os valores que o expoente pode assumir.

Passo 2

O radicando deve ser maior ou igual a zero, ou seja,
y - x^2 \ge 0
Logo, o domínio é o conjunto de todos os pares (x,y) em que
y \ge x^2.
Em notação,
\mathcal{D} = \{(x,y)\in \mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\}.

Passo 3

No domínio, definimos
t = \sqrt{y - x^2}\ge 0.
Assim,
f(x,y) = e^t
com t variando em [0,\infty). Portanto e^t varia de e^0=1 até e^{\infty}=\infty.

Resposta

Domínio: \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y \ge x^2\}
Imagem: [1,\infty)

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