Nas questões de 1 a 5, assinale \mathbf{V} se a afirmação é verdadeira e \mathbf{F} se for falsa:
Questão 5 - Sistemas lineares
a) Um sistema linear homogêneo (A matriz dos termos independentes é uma matriz nula) sempre admite a solução trivial. ( )
b) Se o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o sistema tem sempre infinitas soluções.
c) O método de escalonamento transforma o sistema em um equivalente mais simples.
d) A Regra de Cramer pode ser aplicada em sistemas quadrados com determinante não nulo.
e) Um sistema 2 \times 2 sempre tem solução. ( )

Passo 1

Resumindo, temos cinco afirmações sobre sistemas lineares e precisamos marcar \mathbf{V} ou \mathbf{F} para cada uma. O conteúdo envolve sistemas homogêneos, determinante da matriz de coeficientes, método de escalonamento, Regra de Cramer e existência de solução em sistemas 2\times2.

Passo 2

Afirmação (a): “Um sistema linear homogêneo (a matriz dos termos independentes é nula) sempre admite a solução trivial.”
Todo sistema homogêneo satisfaz \mathbf{x}=\mathbf{0}, pois substituindo zeros nas equações resulta em igualdade. Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Afirmação (b): “Se o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o sistema tem sempre infinitas soluções.”
Quando \det=0, a matriz não é inversível e o sistema pode ser indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução), dependendo da consistência. Portanto, não é “sempre” infinitas, é falsa.

Passo 4

Afirmação (c): “O método de escalonamento transforma o sistema em um equivalente mais simples.”
O escalonamento (eliminação de Gauss) aplica operações elementares que preservam o conjunto de soluções, reduzindo-o a uma forma em que as incógnitas aparecem de modo escalonado. Logo, é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “A Regra de Cramer pode ser aplicada em sistemas quadrados com determinante não nulo.”
A Regra de Cramer exige precisamente que a matriz de coeficientes seja quadrada e tenha \det\neq0. Portanto, é verdadeira.

Passo 6

Afirmação (e): “Um sistema 2\times2 sempre tem solução.”
Um sistema 2\times2 pode ter solução única (se \det\neq0), infinitas ou nenhuma (se \det=0 e inconsistência). Assim, não “sempre” tem solução: é falsa.

Resposta

a) \mathbf{V}
b) \mathbf{F}
c) \mathbf{V}
d) \mathbf{V}
e) \mathbf{F}

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