Nas questões de 1 a 5, assinale
se a afirmação é verdadeira e
se for falsa:
Questão 5 - Sistemas lineares
a) Um sistema linear homogêneo (A matriz dos termos independentes é uma matriz nula) sempre admite a solução trivial. ( )
b) Se o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o sistema tem sempre infinitas soluções.
c) O método de escalonamento transforma o sistema em um equivalente mais simples.
d) A Regra de Cramer pode ser aplicada em sistemas quadrados com determinante não nulo.
e) Um sistema
sempre tem solução. ( )
Questão 5 - Sistemas lineares
a) Um sistema linear homogêneo (A matriz dos termos independentes é uma matriz nula) sempre admite a solução trivial. ( )
b) Se o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o sistema tem sempre infinitas soluções.
c) O método de escalonamento transforma o sistema em um equivalente mais simples.
d) A Regra de Cramer pode ser aplicada em sistemas quadrados com determinante não nulo.
e) Um sistema
Passo 1
Resumindo, temos cinco afirmações sobre sistemas lineares e precisamos marcar
ou
para cada uma. O conteúdo envolve sistemas homogêneos, determinante da matriz de coeficientes, método de escalonamento, Regra de Cramer e existência de solução em sistemas
.
Passo 2
Afirmação (a): “Um sistema linear homogêneo (a matriz dos termos independentes é nula) sempre admite a solução trivial.”
Todo sistema homogêneo satisfaz , pois substituindo zeros nas equações resulta em igualdade. Logo, a afirmação é verdadeira.
Todo sistema homogêneo satisfaz
Passo 3
Afirmação (b): “Se o determinante da matriz dos coeficientes é zero, o sistema tem sempre infinitas soluções.”
Quando , a matriz não é inversível e o sistema pode ser indeterminado (infinitas soluções) ou impossível (nenhuma solução), dependendo da consistência. Portanto, não é “sempre” infinitas, é falsa.
Quando
Passo 4
Afirmação (c): “O método de escalonamento transforma o sistema em um equivalente mais simples.”
O escalonamento (eliminação de Gauss) aplica operações elementares que preservam o conjunto de soluções, reduzindo-o a uma forma em que as incógnitas aparecem de modo escalonado. Logo, é verdadeira.
O escalonamento (eliminação de Gauss) aplica operações elementares que preservam o conjunto de soluções, reduzindo-o a uma forma em que as incógnitas aparecem de modo escalonado. Logo, é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “A Regra de Cramer pode ser aplicada em sistemas quadrados com determinante não nulo.”
A Regra de Cramer exige precisamente que a matriz de coeficientes seja quadrada e tenha . Portanto, é verdadeira.
A Regra de Cramer exige precisamente que a matriz de coeficientes seja quadrada e tenha
Passo 6
Afirmação (e): “Um sistema
sempre tem solução.”
Um sistema pode ter solução única (se
), infinitas ou nenhuma (se
e inconsistência). Assim, não “sempre” tem solução: é falsa.
Um sistema
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)