No banco a taxa de rendimento da poupança é i=13 \frac{\%}{\text { ano }}, mas calculada mensalmente para o saldo restante naquele mês. Você recebeu uma bolsa (em um só montante) de B_{0}=10.000,00 R \$\(no inicio de seus estudos e pretende retirar mensalmente (imediato após cair rendimento) de\)R= 550,00 R \$\( por mês. (a) Achar a equação que governa o saldo \)B=B(t)\(, aonde o tempo é contado em meses, para arbitrários valores de \)i\( e \)R\(. (b) Qual é a quantia maxima \)R_{m}\( de retirada mensal que nunca zera seu saldo? [Dica: O saldo da conta sem retiradas é dada por \)B(t)=(1+i)^{\frac{t}{12}} B(0)\(, com o tempo \)t dado em meses. ]

Passo 1

Resumindo o enunciado: você tem uma poupança com taxa anual efetiva i, capitalizada mensalmente, o que equivale a um fator mensal
q = (1+i)^{1/12}.
Recebeu no início um montante B_0 e, ao fim de cada mês (logo após o crédito dos juros), retira um valor fixo R.
(a) Vamos achar a equação que governa o saldo B(t), com t em meses, para parâmetros genéricos i e R.
(b) Depois determinamos o saque mensal máximo R_m que mantém o saldo sempre não negativo.

Passo 2

Definindo B(t) como o saldo imediatamente após a retirada do mês t, temos que no mês seguinte, antes da retirada, o saldo vira q\,B(t), e então é retirado R. Logo a recorrência é
B(t+1)=q\,B(t)-R,
com q=(1+i)^{1/12} e condição inicial B(0)=B_0.

Passo 3

Para resolver
B(t+1)-q\,B(t)=-R
vemos que a parte homogênea tem solução B_h(t)=C\,q^t. Buscando uma solução particular constante B_p, impomos
B_p - q\,B_p = -R \quad\Longrightarrow\quad B_p = \frac{R}{q-1}.
Assim a solução geral é
B(t)=C\,q^t + \frac{R}{q-1}.
Usando B(0)=B_0
C = B_0 - \frac{R}{q-1},
e portanto
B(t) = \Bigl(B_0 - \frac{R}{q-1}\Bigr) q^t + \frac{R}{q-1} = B_0\,q^t \;-\;\frac{R}{q-1}\bigl(q^t-1\bigr).
Reescrevendo em termos de i:
B(t) = B_0\,(1+i)^{t/12} - R\;\frac{(1+i)^{t/12}-1}{(1+i)^{1/12}-1}.

Passo 4

Para que B(t)\ge0 para todo t, a componente que multiplica q^t não pode ser negativa, ou seja
B_0 - \frac{R}{q-1}\ge0 \quad\Longrightarrow\quad R \le B_0\,(q-1) = B_0\bigl((1+i)^{1/12}-1\bigr).
Portanto o saque mensal máximo que nunca zera o saldo é
R_m = B_0\bigl((1+i)^{1/12}-1\bigr).
Para os valores numéricos B_0=10000 e i=0{,}13 isso dá
R_m = 10000\bigl((1{,}13)^{1/12}-1\bigr)\approx102{,}37\;\text{R\$}.

Resposta

(a) A equação de recorrência é
B(t+1) = (1+i)^{1/12}\,B(t)\;-\;R,
com solução fechada
B(t) = B_0\,(1+i)^{t/12} - R\;\frac{(1+i)^{t/12}-1}{(1+i)^{1/12}-1}.
(b) O saque mensal máximo que mantém o saldo sempre não negativo é
R_m = B_0\bigl((1+i)^{1/12}-1\bigr) \approx102{,}37\;\text{R\$}.

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