No banco a taxa de rendimento da poupança é
, mas calculada mensalmente para o saldo restante naquele mês. Você recebeu uma bolsa (em um só montante) de
dado em meses. ]
Passo 1
Resumindo o enunciado: você tem uma poupança com taxa anual efetiva
, capitalizada mensalmente, o que equivale a um fator mensal
Recebeu no início um montante
e, ao fim de cada mês (logo após o crédito dos juros), retira um valor fixo
.
(a) Vamos achar a equação que governa o saldo , com
em meses, para parâmetros genéricos
e
.
(b) Depois determinamos o saque mensal máximo que mantém o saldo sempre não negativo.
(a) Vamos achar a equação que governa o saldo
(b) Depois determinamos o saque mensal máximo
Passo 2
Definindo
como o saldo imediatamente após a retirada do mês
, temos que no mês seguinte, antes da retirada, o saldo vira
, e então é retirado
. Logo a recorrência é
com
e condição inicial
.
Passo 3
Para resolver
vemos que a parte homogênea tem solução
. Buscando uma solução particular constante
, impomos
Assim a solução geral é
Usando
dá
e portanto
Reescrevendo em termos de
:
Passo 4
Para que
para todo
, a componente que multiplica
não pode ser negativa, ou seja
Portanto o saque mensal máximo que nunca zera o saldo é
Para os valores numéricos
e
isso dá
Resposta
(a) A equação de recorrência é
com solução fechada
(b) O saque mensal máximo que mantém o saldo sempre não negativo é