Achar a solução do problema de valor inicial proposto.
y^prime prime+y=u3 pi(t), y(0)=1 e y^prime(0)=0

Passo 1

O problema é um valor inicial para a EDO linear de segunda ordem com forçamento em degrau atrasado:
y'' + y = u3pi(t), y(0)=1, y'(0)=0
O conteúdo é resolução de EDO com termo não homogêneo descontínuo. Vamos usar solução em dois trechos, em [0,3pi) e em [3pi,infty), impondo continuidade de y e y' em t=3pi.

Passo 2

Para 0 <= t < 3pi, tem-se u3pi(t)=0 e a EDO homogênea
y'' + y = 0
A solução geral é
y(t)=Ccos t + Dsin t
Impondo y(0)=1 e y'(0)=0 obtemos C=1 e D=0. Logo
y(t)=cos t, 0<= t<3pi

Passo 3

Para t>=3pi, tem-se u3pi(t)=1 e a EDO
y'' + y = 1
A solução geral é
y(t)=Acos t + Bsin t + 1
Impondo continuidade em t=3pi:
y(3pi^-)=cos(3pi)=-1, y'(3pi^-)=-sin(3pi)=0,
y(3pi^+)=Acos(3pi)+Bsin(3pi)+1=-A+1stackrel!=-1,
y'(3pi^+)=-Asin(3pi)+Bcos(3pi)=-Bstackrel!=0
Daí A=2 e B=0, resultando em
y(t)=2cos t + 1, t>=3pi

Resposta

y(t)= cos t, &0<= t<3pi, 2cos t + 1, &t>=3pi

Exercícios relacionados