Q10 Encontre a solucao na forma de serie para o problema
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, por séries de potências, a EDO linear com coeficientes constantes
O conteúdo é método de série de potências centrado em 0, e vamos precisar montar as séries para
Passo 2
Assumimos a solução na forma de série
Logo
Essa ideia vem de aproximar a solução por polinômios infinitos.
Passo 3
Substituindo no ODE:
ficamos com
Agora reindexamos todas para potências
.
Passo 4
Reindexação:
— Na primeira soma faça :
— Na primeira soma faça
— Na segunda soma faça
— A terceira já está em
.
Somando:
Somando:
Passo 5
Como essa soma é nula para todo
, cada coeficiente deve zero:
$$(n+2)(n+1)a_{n+2}-2(n+1)a_{n+1}+a_n=0.
Isso é a relação de recorrência.
Passo 6
Usando as condições iniciais:
Da relação:
— Para
— Para
:
— Para
Observamos o padrão
para
e
.
Passo 7
Portanto a série é
Isso coincide com a forma fechada