Q10 Encontre a solucao na forma de serie para o problema y^prime prime-2 y^prime+y=0, y^prime(0)=1 e y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por séries de potências, a EDO linear com coeficientes constantes
y''-2y'+y=0, y(0)=0, y'(0)=1
O conteúdo é método de série de potências centrado em 0, e vamos precisar montar as séries para y, y' e y''.

Passo 2

Assumimos a solução na forma de série
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
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y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2
Essa ideia vem de aproximar a solução por polinômios infinitos.

Passo 3

Substituindo no ODE:
y''-2y'+y=0
ficamos com
sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2-2sumn=1^infty n anx^n-1+sumn=0^infty anx^n=0
Agora reindexamos todas para potências x^n.

Passo 4

Reindexação:
— Na primeira soma faça nto n+2:
sumn=0^infty(n+2)(n+1)an+2x^n
— Na segunda soma faça nto n+1:
-2sumn=0^infty(n+1)an+1x^n
— A terceira já está em x^n.
Somando:
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2-2(n+1)an+1+anr]x^n=0

Passo 5

Como essa soma é nula para todo x, cada coeficiente deve zero:
$$(n+2)(n+1)a_{n+2}-2(n+1)a_{n+1}+a_n=0.
(n+2)(n+1)an+2-2(n+1)an+1+an=0 a_{n+2}=\frac{2(n+1)a_{n+1}-a_n}{(n+2)(n+1)}.$$
Isso é a relação de recorrência.

Passo 6

Usando as condições iniciais:
y(0)=a0=0, y'(0)=a1=1
Da relação:
— Para n=0:
a2=2cdot1cdot a1-a02cdot1=2cdot1-02=1
— Para n=1:
a3=2cdot2cdot a2-a13cdot2=4cdot1-16=tfrac12
— Para n=2:
a4=2cdot3cdot a3-a24cdot3=6cdottfrac12-112=tfrac16
Observamos o padrão an=1/(n-1)! para n>=1 e a0=0.

Passo 7

Portanto a série é
y(x)=sumn=1^inftyanx^n=sumn=1^inftyx^n(n-1)!
Isso coincide com a forma fechada y(x)=x e^x, mas aqui ficou na forma de série.

Resposta

y(x)=sumn=1^inftyx^n(n-1)!

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