Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.
sumn=1^infty 5(23^n-1)

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumn=1^infty 5l(tfrac23r)^n-1
é convergente ou divergente. Esse é um caso clássico de série geométrica. Para resolver vamos precisar:
  1. Identificar o termo inicial a e a razão r.
  2. Usar o critério de convergência |r|<1.
  3. Se convergir, aplicar a fórmula da soma
S = a1 - r

Passo 2

Identificamos o termo inicial e a razão da série geométrica:
O primeiro termo (quando n=1) é
a = 5l(tfrac23r)^1-1 = 5cdot 1 = 5
A razão é o fator que multiplica de um termo para o próximo, claramente
r = tfrac23

Passo 3

Verificamos a convergência usando |r|<1:
l|tfrac23r| = tfrac23 < 1,
logo a série converge.
Para séries geométricas convergentes, a soma é
S = a1 - r = 51 - tfrac23 = 5tfrac13 = 15

Resposta

A série converve e sua soma é 15.

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