Q4 Determine se a serie
sumn=1^infty n^1 / nn^2
converge ou diverge?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty n^1/nn^2
O conteúdo aqui é séries numéricas e o teste que vamos usar é o teste da comparação limite com a série-p
sumn=1^infty1n^2,
pois sabemos que ela converge (é p-série com p=2>1).

Passo 2

Definimos
an = n^1/nn^2 e bn = 1n^2
Vamos calcular
limntoinftyanbn = limntoinfty n^1/n/n^21/n^2 = limntoinfty n^1/n

Passo 3

Para avaliar limntoinftyn^1/n, escrevemos
n^1/n = e^ln nn,
e como
limntoinftyln nn = 0,
segue que
limntoinftyn^1/n = e^0 = 1

Passo 4

O limite da razão é
limntoinftyanbn = 1,
um número finito e estritamente positivo. Pelo teste da comparação limite, como sum bn=sum1/n^2 converge, então também converge
sum an=sum n^1/n/n^2.

Resposta

A série converge.

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