Achar a solução do problema de valor inicial proposto.
y^{\prime \prime}+y=f(t), y(0)=0\) e \(y^{\prime}(0)=1\) onde \(f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<\pi / 2 \\\\ 0, & \pi / 2 \leq t<\infty\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a solução de
y''+y=f(t),\quad y(0)=0,\;y'(0)=1,
onde
f(t)=\begin{cases} 1,&0\le t<\tfrac\pi2,\\\\ 0,&t\ge\tfrac\pi2. \end{cases}
O método que vamos usar é escrever a solução como superposição da solução homogênea (que já satisfaz as condições iniciais) mais a convolução com o núcleo \sin, ou seja,
y(t)=y_h(t)+\int_0^t\sin(t-s)\,f(s)\,\mathrm{d}s.

Passo 2

Encontremos primeiro a solução homogênea de
y''+y=0
com
y(0)=0,\quad y'(0)=1.
A solução geral é
y_h(t)=A\cos t+B\sin t.
Aplicando y_h(0)=0 A=0. Diferenciando e usando y_h'(0)=1 B=1.
Logo
y_h(t)=\sin t.

Passo 3

Pela teoria de equações lineares, a solução completa é
y(t)=\sin t+\int_0^t\sin\bigl(t-s\bigr)\,f(s)\,\mathrm{d}s.
Como f(s) vale 1 para 0\le s<\pi/2 e 0 depois, vamos quebrar em dois casos: t<\pi/2 e t\ge\pi/2.

Passo 4

Para 0\le t<\tfrac\pi2, todo o intervalo de integração tem f(s)=1. Então
\int_0^t\sin(t-s)\,1\,\mathrm{d}s =\int_0^t\sin u\,\mathrm{d}u =\bigl[-\cos u\bigr]_{0}^{t} =1-\cos t.
Logo, para 0\le t<\tfrac\pi2,
y(t)=\sin t+\bigl(1-\cos t\bigr) =1-\cos t+\sin t.

Passo 5

Para t\ge\tfrac\pi2, a função f(s) é 1 apenas em 0\le s<\pi/2 e zero depois. Assim
\int_0^t\sin(t-s)f(s)\,\mathrm{d}s =\int_0^{\pi/2}\sin(t-s)\,\mathrm{d}s.
Fazendo u=t-s, quando s=0 vem u=t e quando s=\pi/2 vem u=t-\pi/2, e
\int_0^{\pi/2}\sin(t-s)\,\mathrm{d}s =\int_{u=t}^{\,u=t-\pi/2}(-\sin u)\,\mathrm{d}u =\int_{t-\pi/2}^{\,t}\sin u\,\mathrm{d}u =\bigl[-\cos u\bigr]_{t-\pi/2}^{\,t} =-\cos t+\cos\bigl(t-\tfrac\pi2\bigr).
Como \cos(t-\tfrac\pi2)=\sin t, isso vale
-\cos t+\sin t.
Portanto, para t\ge\tfrac\pi2,
y(t)=\sin t+\bigl(-\cos t+\sin t\bigr) =2\sin t-\cos t.

Resposta

Para 0\le t<\tfrac\pi2:
y(t)=1-\cos t+\sin t,
e para t\ge\tfrac\pi2:
y(t)=2\sin t-\cos t.

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