O método que vamos usar é escrever a solução como superposição da solução homogênea (que já satisfaz as condições iniciais) mais a convolução com o núcleo \sin, ou seja,
y(t)=y_h(t)+\int_0^t\sin(t-s)\,f(s)\,\mathrm{d}s.
Passo 2
Encontremos primeiro a solução homogênea de
y''+y=0
com
y(0)=0,\quad y'(0)=1.
A solução geral é
y_h(t)=A\cos t+B\sin t.
Aplicando y_h(0)=0 dá A=0. Diferenciando e usando y_h'(0)=1 dá B=1.
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y_h(t)=\sin t.
Passo 3
Pela teoria de equações lineares, a solução completa é