Encontre a derivada da função.
f(x)=e^{-2 x} \cos 4 x

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{-2x}\cos(4x).
Para isso vamos usar a regra do produto (derivada de u(x)v(x)) e a regra da cadeia (derivar funções compostas).

Passo 2

Seja
u(x)=e^{-2x}, \quad v(x)=\cos(4x).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Agora calculamos u'(x) e v'(x) usando a regra da cadeia.

Passo 3

Para u(x)=e^{-2x}, temos
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}\bigr) =e^{-2x}\cdot(-2) =-2e^{-2x}.
Para v(x)=\cos(4x), temos
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\cos(4x)\bigr) =-\sin(4x)\cdot 4 =-4\sin(4x).

Passo 4

Substituindo em f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x),
f'(x) =-2e^{-2x}\cos(4x) +e^{-2x}\bigl(-4\sin(4x)\bigr).
Fatorando e^{-2x},
f'(x) =e^{-2x}\bigl(-2\cos(4x)-4\sin(4x)\bigr) =-2e^{-2x}\bigl(\cos(4x)+2\sin(4x)\bigr).

Resposta

f'(x)=-2e^{-2x}\bigl(\cos(4x)+2\sin(4x)\bigr).

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