Encontre a derivada da função.
f(x)=\frac{1}{\left(x^{4}+1\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\frac{1}{\bigl(x^{4}+1\bigr)^{3}}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do poder combinada com a regra da cadeia: se f(x)=[u(x)]^{n}, então
f'(x)=n\,[u(x)]^{n-1}\cdot u'(x).

Passo 2

Reescrevendo
f(x)=\bigl(x^{4}+1\bigr)^{-3},
identificamos u(x)=x^{4}+1 e n=-3. A derivada de u é
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{4}+1\bigr)=4x^{3}.
Aplicando a regra da cadeia:
f'(x)=-3\bigl(x^{4}+1\bigr)^{-4}\cdot 4x^{3}.

Passo 3

Agora simplificamos o coeficiente e expressamos como fração:
f'(x)=-12\,x^{3}\,(x^{4}+1)^{-4} =-\frac{12\,x^{3}}{(x^{4}+1)^{4}}.

Resposta

f'(x)=-\frac{12\,x^{3}}{(x^{4}+1)^{4}}.

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