Achar as soluções particulares das seguintes equações, que satisfaçam as condições de contorno indicadas:
\left(1+e^{x}\right) y y^{\prime}=e^{x} ;\quad y=1 quando x=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(1+e^{x})\,y\,y^{\prime}=e^{x}
e a condição de contorno (condição inicial) y(0)=1.
A pergunta é: achar a(s) solução(ões) particular(es) que satisfaçam essa condição.

Passo 2

Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e x. Começo dividindo ambos os lados por 1+e^{x} e por dx:
y\,\frac{dy}{dx}=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}.
Agora separo em forma integrável:
y\,dy=\frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx.
Isto significa que posso integrar os dois lados em relação às suas variáveis: integrar y\,dy em y e \dfrac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx em x.

Passo 3

Calculo as integrais. Do lado esquerdo:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}.
Do lado direito faço a substituição u=1+e^{x}, então du=e^{x}dx. Assim
\int \frac{e^{x}}{1+e^{x}}\,dx=\int \frac{du}{u}=\ln|u|=\ln(1+e^{x}).
Portanto a integral completa dá a solução implícita
\frac{y^{2}}{2}=\ln(1+e^{x})+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Determino a constante C usando y(0)=1. Substituo x=0 e y=1 na equação implícita:
\frac{1^{2}}{2}=\ln(1+e^{0})+C \quad\Rightarrow\quad \frac{1}{2}=\ln 2 + C.
Logo
C=\frac{1}{2}-\ln 2.
Substituindo C de volta,
\frac{y^{2}}{2}=\ln(1+e^{x})+\frac{1}{2}-\ln 2.
Multiplicando por 2 e isolando y^{2},
y^{2}=1+2\ln\!\bigg(\frac{1+e^{x}}{2}\bigg).

Passo 5

Agora passo para a forma explícita: y=\pm\sqrt{\,1+2\ln\!\big(\dfrac{1+e^{x}}{2}\big)\,}. Para escolher o sinal usamos a condição inicial y(0)=1. Avaliando em x=0 o radicando:
1+2\ln\!\bigg(\frac{1+e^{0}}{2}\bigg)=1+2\ln(1)=1,
a raiz positiva dá y(0)=+1 e a negativa daria -1, que não coincide com a condição dada. Portanto escolhemos o sinal positivo:
y(x)=\sqrt{\,1+2\ln\!\bigg(\frac{1+e^{x}}{2}\bigg)\,}.

Passo 6

Comentário sobre domínio: a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa:
1+2\ln\!\bigg(\frac{1+e^{x}}{2}\bigg)\ge 0
o que é equivalente a
\frac{1+e^{x}}{2}\ge e^{-1/2}\quad\Longleftrightarrow\quad e^{x}\ge 2e^{-1/2}-1.
Portanto a solução real obtida existe para os x que satisfazem x\ge \ln(2e^{-1/2}-1) (note que o valor numérico de \ln(2e^{-1/2}-1) é aproximadamente -1{,}545), e em particular a condição inicial x=0 está dentro do domínio.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,1+2\ln\!\bigg(\frac{1+e^{x}}{2}\bigg)\,} \quad\text{(escolhida para satisfazer }y(0)=1\text{), com domínio }x\ge \ln\!\big(2e^{-1/2}-1\big).í

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