Achar as soluções particulares das seguintes equações, que satisfaçam as condições de contorno indicadas:
quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a condição de contorno (condição inicial)
.
A pergunta é: achar a(s) solução(ões) particular(es) que satisfaçam essa condição.
A pergunta é: achar a(s) solução(ões) particular(es) que satisfaçam essa condição.
Passo 2
Vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Começo dividindo ambos os lados por
e por
:
Agora separo em forma integrável:
Isto significa que posso integrar os dois lados em relação às suas variáveis: integrar
em
e
em
.
Passo 3
Calculo as integrais. Do lado esquerdo:
Do lado direito faço a substituição
, então
. Assim
Portanto a integral completa dá a solução implícita
onde
é constante de integração.
Passo 4
Determino a constante
usando
. Substituo
e
na equação implícita:
Logo
Substituindo
de volta,
Multiplicando por 2 e isolando
,
Passo 5
Agora passo para a forma explícita:
. Para escolher o sinal usamos a condição inicial
. Avaliando em
o radicando:
a raiz positiva dá
e a negativa daria
, que não coincide com a condição dada. Portanto escolhemos o sinal positivo:
Passo 6
Comentário sobre domínio: a expressão dentro da raiz precisa ser não negativa:
o que é equivalente a
Portanto a solução real obtida existe para os
que satisfazem
(note que o valor numérico de
é aproximadamente
), e em particular a condição inicial
está dentro do domínio.