Resolver as equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- A incógnita é
função de . -
. - A equação é de primeira ordem e envolve produtos de
e .
Pergunta: encontrar a solução geral(ou forma implícita) que satisfaz essa equação.
Passo 2
Primeiro vamos escrever a equação de forma explícita em termos de
. Dividindo ambos os lados por
(atenção: isso exige
e
localmente; veremos as implicações depois),
Agora temos
isolado e podemos pensar em separar variáveis (colocar tudo em
de um lado e tudo em
do outro).
Passo 3
Separação de variáveis: multiplicamos ambos os lados por
para agrupar
com
e expressões em
com
:
Simplificamos a fração à direita:
Logo a igualdade a integrar fica
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Lado esquerdo: usamos a regra básica
porque
. Aqui
é uma constante de integração (que juntaremos com a do outro lado depois).
Passo 5
Integramos o lado direito termo a termo. As integrais são conhecidas:
Portanto
onde
é outra constante de integração.
Passo 6
Igualando as integrais (e reunindo constantes em uma só constante
) obtemos a forma implícita da solução geral:
Multiplicando por
para uma aparência mais simples,
onde
é a constante arbitrária geral.
Passo 7
Podemos escrever a solução explícita, extraindo a raiz quadrada (lembrando da escolha de sinal):
Aqui a expressão dentro da raiz deve ser não negativa no domínio considerado; portanto a solução só existe onde
Passo 8
Observações importantes e condições:
- Usamos
porque dá ; assim a solução é válida tanto para quanto para , mas sempre com . - Não existe solução constante
constante que satisfaça a equação para todo (verificação: colocar falha exceto possivelmente em pontos isolados). - Se tivéssemos uma condição inicial do tipo
com , determinaríamos por