Resolver as equações diferenciais:
x y y^{\prime}=1-x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y\,y' = 1 - x^{3}.
Informações dadas:
  • A incógnita é y função de x.
  • y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A equação é de primeira ordem e envolve produtos de x e y.
    Pergunta: encontrar a solução geral y(x) (ou forma implícita) que satisfaz essa equação.

Passo 2

Primeiro vamos escrever a equação de forma explícita em termos de \dfrac{dy}{dx}. Dividindo ambos os lados por x\,y (atenção: isso exige x\neq 0 e y\neq 0 localmente; veremos as implicações depois),
\frac{dy}{dx} = \frac{1-x^{3}}{x\,y}.
Agora temos \dfrac{dy}{dx} isolado e podemos pensar em separar variáveis (colocar tudo em y de um lado e tudo em x do outro).

Passo 3

Separação de variáveis: multiplicamos ambos os lados por y\,dx para agrupar y com dy e expressões em x com dx:
y\,dy = \frac{1-x^{3}}{x}\,dx.
Simplificamos a fração à direita:
\frac{1-x^{3}}{x} = \frac{1}{x} - x^{2}.
Logo a igualdade a integrar fica
y\,dy = \left(\frac{1}{x} - x^{2}\right)dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Lado esquerdo: usamos a regra básica
\int y\,dy = \frac{1}{2}y^{2} + C_1,
porque \dfrac{d}{dy}\left(\dfrac{1}{2}y^{2}\right)=y. Aqui C_1 é uma constante de integração (que juntaremos com a do outro lado depois).

Passo 5

Integramos o lado direito termo a termo. As integrais são conhecidas:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C_3.
Portanto
\int\left(\frac{1}{x} - x^{2}\right)dx = \ln|x| - \frac{x^{3}}{3} + C_4,
onde C_4 é outra constante de integração.

Passo 6

Igualando as integrais (e reunindo constantes em uma só constante C) obtemos a forma implícita da solução geral:
\frac{1}{2}y^{2} = \ln|x| - \frac{x^{3}}{3} + C.
Multiplicando por 2 para uma aparência mais simples,
y^{2} = 2\ln|x| - \frac{2}{3}x^{3} + C_{1},
onde C_{1}=2C é a constante arbitrária geral.

Passo 7

Podemos escrever a solução explícita, extraindo a raiz quadrada (lembrando da escolha de sinal):
y(x) = \pm\sqrt{\,2\ln|x| - \frac{2}{3}x^{3} + C_{1}\,}.
Aqui a expressão dentro da raiz deve ser não negativa no domínio considerado; portanto a solução só existe onde
2\ln|x| - \frac{2}{3}x^{3} + C_{1} \ge 0.

Passo 8

Observações importantes e condições:
  • Usamos \ln|x| porque \int 1/x\,dx \ln|x|; assim a solução é válida tanto para x>0 quanto para x<0, mas sempre com x\neq 0.
  • Não existe solução constante y\equiv constante que satisfaça a equação para todo x (verificação: colocar y\equiv 0 falha exceto possivelmente em pontos isolados).
  • Se tivéssemos uma condição inicial do tipo y(x_{0})=y_{0} com x_{0}\neq 0, determinaríamos C_{1} por
C_{1} = y_{0}^{2} - 2\ln|x_{0}| + \frac{2}{3}x_{0}^{3}.

Resposta

y^{2} = 2\ln|x| - \frac{2}{3}x^{3} + C
y = \pm\sqrt{\,2\ln|x| - \frac{2}{3}x^{3} + C\,}

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