Resolver as equações diferenciais: y-x y^{\prime}=a\left(1+x^{2} y^{\prime}\right)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y - x y' = a\bigl(1 + x^{2} y'\bigr),
onde y=y(x) é a função desconhecida e a é uma constante. A pergunta implícita é: encontrar a solução geral y(x) desta equação diferencial. Informação relevante fornecida: a equação relaciona y, sua derivada y' e a variável x. Não há condições iniciais; queremos a família de soluções gerais.
Passo 2
Organizar a equação para isolar y'. Começo por agrupar os termos que contêm y' de um lado:
y - x y' = a + a x^{2} y'.
Levo todos os termos com y' para o mesmo lado e os demais para o outro:
y - a = x y' + a x^{2} y'.
Coloco y' em evidência no lado direito:
y - a = y'\bigl(x + a x^{2}\bigr).
Passo 3
Resolver para y'. Divido ambos os lados por x + a x^{2} (atenção: isso pressupõe x(1+ax)\neq0; discutiremos singularidades depois):
y' = \frac{y - a}{x + a x^{2}}.
Fatorando x no denominador fica mais claro:
y' = \frac{y - a}{x(1 + a x)}.
Passo 4
Reconhecer que a equação agora é separável: podemos escrever \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y-a}{x(1+ax)}. A ideia da separação de variáveis é reunir os termos em y de um lado e os termos em x do outro:
\frac{dy}{y - a} = \frac{dx}{x(1 + a x)}.
Agora integramos ambos os lados.
Passo 5
Integrar o lado esquerdo. A primitiva de \dfrac{1}{y-a} é um logaritmo:
\int \frac{dy}{y-a} = \ln|y - a| + C_1.
Explico rápido: a derivada de \ln|y-a| em relação a y é \dfrac{1}{y-a}, por isso a antiderivada é esse logaritmo.
Passo 6
Integrar o lado direito usando frações parciais. Queremos integrar
\int \frac{dx}{x(1+ax)}.
Fazemos a decomposição em frações parciais do tipo \dfrac{A}{x} + \dfrac{B}{1+ax}. Igualando:
\frac{1}{x(1+ax)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+ax}.
Multiplicando por x(1+ax) obtemos 1 = A(1+ax) + Bx. Comparando coeficientes, o termo constante dá A=1 e o coeficiente de x dá Aa + B = 0, então B = -a. Assim
Igualar as integrais obtidas. Das integrais dos passos anteriores temos
\ln|y - a| = \ln\left|\frac{x}{1+ax}\right| + C,
onde C é constante arbitrária (diferença entre C_2 e C_1). Exponenciando ambos os lados:
|y - a| = K\left|\frac{x}{1+ax}\right|,
com K = e^{C}>0. Absorvemos o sinal de K num constante arbitrária C que pode ser qualquer número real (positivo, negativo ou zero). Portanto podemos escrever sem as barras:
y - a = C\frac{x}{1+ax},
onde C é uma constante real arbitrária.
Passo 8
Isolar y para obter a solução geral:
y(x) = a + C\frac{x}{1+ax},
com C\in\mathbb{R}. Comentários importantes: a solução está bem definida onde 1+ax\neq0 (ou seja, x\neq -\tfrac{1}{a} quando a\neq0). O caso x=0 é regular e dá y(0)=a para qualquer C. A solução constante y\equiv a corresponde a C=0. Também, se a=0 a fórmula reduz para y=Cx, que é o caso correto da equação original quando a=0.