Achar as soluções particulares das seguintes equações, que satisfaçam as condições de contorno indicadas:
quando
.
Passo 1
O enunciado dá a equação
e a condição de contorno (condição inicial)
.\n
A tarefa é encontrar a(s) solução(ões) particular(es) que satisfaçam essa equação diferencial e a condição
.
A tarefa é encontrar a(s) solução(ões) particular(es)
Passo 2
Vamos reescrever a equação diferencial na forma diferencial total
. Identificamos:
Isto significa que a equação pode ser vista como
Passo 3
Explicando o método que vamos usar (do jeito de amigo): se essa forma for exata, existe uma função
tal que
e então
é a solução implícita. Para testar exatidão calculamos as derivadas parciais cruzadas:
Como
, a equação é exata. Boa notícia: dá pra achar
.
Passo 4
Agora construímos
. Integramos
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Para determinar
diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Devemos ter
Daqui segue
Passo 6
Integramos
em relação a
:
onde
é constante. Assim a função potencial completa é
A equação implícita geral da família de soluções é
Passo 7
Multiplicando por
para simplificar, obtemos a forma
onde
é constante arbitrária. Agora usamos a condição inicial
. Substituindo
e
obtemos
Passo 8
Logo a solução particular implícita é
Isolamos
. Agrupando termos que têm
:
Então
Passo 9
Extraímos
. Há duas possibilidades de sinal, mas precisamos escolher a que satisfaz
. Primeiro escrevemos
Em
o radicando vale
, então as duas escolhas ± dão
. Como a condição exige
, escolhemos o sinal positivo. Além disso, o denominador exige
, e para manter o radicando positivo (solução real contínua contendo
) precisamos de
, isto é
. Portanto a solução particular (real e contínua em um intervalo contendo
) é