Resolver as equações diferenciais:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
Informações e perguntas que o enunciado fornece:
- Temos a equação diferencial de primeira ordem
. - A incógnita é a função
e precisamos encontrar a família de soluções . - Observe que a equação envolve termos com divisão por
; portanto é natural supor que vamos trabalhar em intervalos onde . (A solução em precisa ser tratada com cuidado.) - Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos manipular a equação para deixá-la em forma explícita para
. Começo isolando
:
Agora divido por
(aqui já estou supondo
):
É útil reescrever o lado direito de forma mais simples. Expandindo e dividindo:
Note aqui algo importante (que vou usar): o lado direito depende apenas da razão
. Isso indica que a equação é do tipo em que a substituição
costuma simplificar bastante.
Passo 3
Explico a substituição e por que ela ajuda. Se uma equação para
pode ser escrita como função de
, isto é típica de equações homogêneas de primeira ordem. A substituição padrão é
onde
é uma nova função. A ideia é reduzir a equação para uma em
que muitas vezes é separável. Aqui a substituição é natural porque já vimos que o RHS é
.
Passo 4
Calculo
em função de
. Derivando
pelo produto:
Agora substituo
e
na forma
. Como
, obtemos:
Simplifico cancelando
em ambos os lados:
Passo 5
Agora temos uma equação para
que é separável. Escrevo em forma de separação de variáveis:
Passo os termos envolvendo
para um lado e
para o outro:
Isto é exatamente o que chamamos de “separar variáveis”: cada lado depende de apenas uma variável, permitindo integrar.
Passo 6
Integro ambos os lados. Lembre que
e
. Assim:
onde
é uma constante de integração. Multiplicando por
:
Para simplificar a escrita, podemos renomear a constante: escrevo
(note que
pode ser qualquer constante real). Então
Passo 7
Isolo
e retorno para
. Invertendo:
Lembrando que
, obtemos a família de soluções
válida para
e para valores de
tais que o denominador não seja zero (ou seja,
).
Passo 8
Verifico soluções degenerate que podem ter sido perdidas ao dividir por termos durante o processo. Ao separar variáveis em
dividimos por
, então precisamos checar
(isto é,
) como possível solução. Substituindo
na equação original:
obtemos
, logo
é de fato solução. Essa solução não aparece na expressão
(nenhuma escolha finita de
produz
), por isso deve ser listada separadamente.
Passo 9
Faço uma checagem rápida da solução geral encontrada para ganhar confiança. Tome
e calcule
. Defina
. Então
Por outro lado,
Como os dois lados coincidem, a solução está verificada (novamente, lembrando
e
).