Resolver as equações diferenciais:
(x-y) y-x^{2} y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial dada:
(x-y)\,y - x^{2}y'=0.
Informações e perguntas que o enunciado fornece:
  • Temos a equação diferencial de primeira ordem (x-y)\,y - x^{2}y'=0.
  • A incógnita é a função y=y(x) e precisamos encontrar a família de soluções y(x).
  • Observe que a equação envolve termos com divisão por x^{2}; portanto é natural supor que vamos trabalhar em intervalos onde x\neq 0. (A solução em x=0 precisa ser tratada com cuidado.)
  • Não há condições iniciais fornecidas, então devemos obter a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos manipular a equação para deixá-la em forma explícita para y'. Começo isolando y':
(x-y)\,y - x^{2}y' = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}y' = (x-y)\,y.
Agora divido por x^{2} (aqui já estou supondo x\neq 0):
y' = \frac{(x-y)\,y}{x^{2}}.
É útil reescrever o lado direito de forma mais simples. Expandindo e dividindo:
y' = \frac{x y - y^{2}}{x^{2}} = \frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^{2}.
Note aqui algo importante (que vou usar): o lado direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Isso indica que a equação é do tipo em que a substituição y=xu(x) costuma simplificar bastante.

Passo 3

Explico a substituição e por que ela ajuda. Se uma equação para y' pode ser escrita como função de \dfrac{y}{x}, isto é típica de equações homogêneas de primeira ordem. A substituição padrão é
y = x\,u(x),
onde u(x) é uma nova função. A ideia é reduzir a equação para uma em u que muitas vezes é separável. Aqui a substituição é natural porque já vimos que o RHS é y/x - (y/x)^2.

Passo 4

Calculo y' em função de u. Derivando y=xu pelo produto:
y' = u + x\,u'.
Agora substituo y e y' na forma y' = \dfrac{y}{x} - \left(\dfrac{y}{x}\right)^{2}. Como \dfrac{y}{x}=u, obtemos:
u + x\,u' = u - u^{2}.
Simplifico cancelando u em ambos os lados:
x\,u' = -\,u^{2}.

Passo 5

Agora temos uma equação para u que é separável. Escrevo em forma de separação de variáveis:
\frac{du}{dx} = -\frac{u^{2}}{x}.
Passo os termos envolvendo u para um lado e x para o outro:
\frac{du}{u^{2}} = -\frac{dx}{x}.
Isto é exatamente o que chamamos de “separar variáveis”: cada lado depende de apenas uma variável, permitindo integrar.

Passo 6

Integro ambos os lados. Lembre que \int u^{-2}\,du = -u^{-1} e \int x^{-1}\,dx = \ln|x|. Assim:
\int \frac{du}{u^{2}} = \int -\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{u} = -\ln|x| + C,
onde C é uma constante de integração. Multiplicando por -1:
\frac{1}{u} = \ln|x| - C.
Para simplificar a escrita, podemos renomear a constante: escrevo \ln|x| + C_{1} (note que C_{1} pode ser qualquer constante real). Então
\frac{1}{u} = \ln|x| + C_{1}.

Passo 7

Isolo u e retorno para y. Invertendo:
u = \frac{1}{\ln|x| + C_{1}}.
Lembrando que y = x\,u, obtemos a família de soluções
y(x) = \frac{x}{\ln|x| + C_{1}},
válida para x\neq 0 e para valores de x tais que o denominador não seja zero (ou seja, \ln|x| + C_{1}\neq 0).

Passo 8

Verifico soluções degenerate que podem ter sido perdidas ao dividir por termos durante o processo. Ao separar variáveis em \dfrac{du}{u^{2}} = -\dfrac{dx}{x} dividimos por u^{2}, então precisamos checar u\equiv 0 (isto é, y\equiv 0) como possível solução. Substituindo y\equiv 0 na equação original:
(x-0)\cdot 0 - x^{2}\cdot 0' = 0,
obtemos 0=0, logo y(x)\equiv 0 é de fato solução. Essa solução não aparece na expressão y=\dfrac{x}{\ln|x|+C_{1}} (nenhuma escolha finita de C_{1} produz y\equiv 0), por isso deve ser listada separadamente.

Passo 9

Faço uma checagem rápida da solução geral encontrada para ganhar confiança. Tome y(x)=\dfrac{x}{\ln|x|+C_{1}} e calcule y'. Defina L(x)=\ln|x|+C_{1}. Então
y = \frac{x}{L},\qquad y' = \frac{L\cdot 1 - x\cdot (1/x)}{L^{2}} = \frac{L-1}{L^{2}}.
Por outro lado,
\frac{y}{x} - \left(\frac{y}{x}\right)^{2} = \frac{1}{L} - \frac{1}{L^{2}} = \frac{L-1}{L^{2}}.
Como os dois lados coincidem, a solução está verificada (novamente, lembrando x\neq 0 e L\neq 0).

Resposta

y(x)\equiv 0\n y(x)=\dfrac{x}{\ln|x|+C}, onde C é constante arbitrária e x\neq 0 (além de exigir \ln|x|+C\neq 0).

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