Achar as soluções em torno do ponto regular das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado pede as soluções em torno de da equação
verificando que são linearmente independentes e achando o raio de convergência.
Aqui estamos em um ponto ordinário ( e são analíticas em ), então podemos usar redução de ordem ou desenvolver em série de potências.
Passo 2
Primeiro, aviso que a equação não tem termo em , o que sugere que podemos definir e reduzir a ordem. Substituindo,
Isto é uma equação de 1ª ordem linear em .
Passo 3
Reescrevendo em forma padrão,
Integramos ambos os lados:
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z = y' = C1x^2-3
Passo 4
Agora integramos y'=dfracC1x^2-3:
y = C2 + C1integraldxx^2-3
Tomando uma constante de integração C2 como a primeira solução e focando na segunda, temos