Achar as soluções em torno do ponto regular x0=0 das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
(x^2-3) y^prime prime+2 x y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede as soluções em torno de x0=0 da equação
(x^2-3),y'' + 2x,y' = 0,
verificando que são linearmente independentes e achando o raio de convergência.
Aqui estamos em um ponto ordinário ( p(x)=2x/(x^2-3) e q(x)=0 são analíticas em x=0), então podemos usar redução de ordem ou desenvolver em série de potências.

Passo 2

Primeiro, aviso que a equação não tem termo em y, o que sugere que podemos definir z=y' e reduzir a ordem. Substituindo,
(x^2-3),z' + 2x,z = 0
Isto é uma equação de 1ª ordem linear em z.

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão,
z'z = -2xx^2-3
Integramos ambos os lados:
ln|z| = integral -2xx^2-3,dx = -lnl|x^2-3r| + C
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z = y' = C1x^2-3

Passo 4

Agora integramos y'=dfracC1x^2-3:
y = C2 + C1integraldxx^2-3
Tomando uma constante de integração C2 como a primeira solução e focando na segunda, temos
integraldxx^2-3 = -13integraldx1 - dfracx^23 = -13sumn=0^inftyl(x^23r)^n
para l|tfracx^23r|<1.

Passo 5

Integramos termo a termo:
y2(x) = -13sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1),3^n = -sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1),3^,n+1
Podemos escolher a outra solução fundamental como
y1(x)=1,
já que corresponde a C2, e
y2(x)=-sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1),3^,n+1

Passo 6

Para verificar independência linear, calcule o Wronskiano:
W(y1,y2)(x) = y1 & y2 y1' & y2' = 1cdot y2' - 0cdot y2 = y2' = 1x^2-3,
que não se anula em x=0. Portanto y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 7

O raio de convergência da série de dfrac11 - tfracx^23 é dado pela condição l|tfracx^23r|<1, isto é
|x|<raiz3

Resposta

As duas soluções fundamentais em torno de x=0 são
y1(x)=1, y2(x)=-sumn=0^inftyx^2n+1(2n+1),3^,n+1,
são linearmente independentes (pois o Wronskiano vale tfrac1x^2-3neq0 em x=0) e o raio de convergência da série é raiz3.

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