Achar as soluções em torno do ponto regular das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (edo) dada por perto do ponto regular . Para isso, vamos usar métodos de séries de potências, que nos permitem encontrar soluções em forma de séries. Precisamos determinar as soluções, verificar se elas são linearmente independentes e descobrir o raio de convergência dessa série.
Passo 2
Primeiro, assumimos que a solução pode ser expressa como uma série de potências em torno de :
Onde são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de :
Passo 4
Substituímos , e na equação diferencial:
Vamos ajustar os índices para alinhar os poderes de .
Passo 5
Mudando o índice do primeiro somatório para :
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , cada coeficiente deve ser zero:
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes em termos de .
Passo 7
Vamos determinar os primeiros coeficientes:
Para :
Para :
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem par dependem de e os ímpares de . Isso sugere que teremos duas soluções independentes: uma com termos pares e outra com termos ímpares.
Passo 8
As soluções encontradas são séries que convergem no intervalo onde a série converge. Para determinar o raio de convergência, utilizamos o teste da razão:
Como o limite é zero, a série converge para todo x , ou seja, o raio de convergência é infinito.
Resposta
As soluções em torno de x0 = 0 são séries de potências dadas por:
y1(x) = a0 (1 - x^22 + x^48 - cdots )
y2(x) = a1 (x - x^33 + x^512 - cdots )
Essas soluções são linearmente independentes e possuem raio de convergência infinito.