Achar as soluções em torno do ponto regular x0=0 das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
y^prime prime+x y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (edo) dada por y'' + x y' + y = 0 perto do ponto regular x0 = 0 . Para isso, vamos usar métodos de séries de potências, que nos permitem encontrar soluções em forma de séries. Precisamos determinar as soluções, verificar se elas são linearmente independentes e descobrir o raio de convergência dessa série.

Passo 2

Primeiro, assumimos que a solução y(x) pode ser expressa como uma série de potências em torno de x0 = 0 :
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Onde an são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de y(x) :
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
y''(x) = sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2

Passo 4

Substituímos y(x) , y'(x) e y''(x) na equação diferencial:
sumn=2^infty n (n-1) an x^n-2 + x sumn=1^infty n an x^n-1 + sumn=0^infty an x^n = 0
Vamos ajustar os índices para alinhar os poderes de x .

Passo 5

Mudando o índice do primeiro somatório para n = 0 :
sumn=0^infty (n+2)(n+1) an+2 x^n + sumn=1^infty n an x^n + sumn=0^infty an x^n = 0
Agora, combinamos os termos semelhantes:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + n an + an ] x^n = 0
Simplificando:
sumn=0^infty [ (n+2)(n+1) an+2 + (n + 1) an ] x^n = 0

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x , cada coeficiente deve ser zero:
(n+2)(n+1) an+2 + (n + 1) an = 0 Rightarrow an+2 = -an(n+2)
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes an+2 em termos de an .

Passo 7

Vamos determinar os primeiros coeficientes:
  • Para n = 0 :
a2 = -a02
  • Para n = 1 :
a3 = -a13
E assim por diante. Observamos que os coeficientes de ordem par dependem de a0 e os ímpares de a1 . Isso sugere que teremos duas soluções independentes: uma com termos pares e outra com termos ímpares.

Passo 8

As soluções encontradas são séries que convergem no intervalo onde a série converge. Para determinar o raio de convergência, utilizamos o teste da razão:
limn to infty | an+2an | = limn to infty | -1n+2 | = 0
Como o limite é zero, a série converge para todo x , ou seja, o raio de convergência é infinito.

Resposta

As soluções em torno de x0 = 0 são séries de potências dadas por:
y1(x) = a0 (1 - x^22 + x^48 - cdots )
y2(x) = a1 (x - x^33 + x^512 - cdots )
Essas soluções são linearmente independentes e possuem raio de convergência infinito.

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