Analogamente ao ítem anterior, achar as soluçõs dos seguintes PVI:
ly^prime prime-e^x y=0 y(0)=y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial. A equação dada é y'' - e^x y = 0 com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 1 . A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com equações lineares de segunda ordem e aplicar métodos como a série de potências.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
y'' = e^x y
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis devido ao termo e^x .

Passo 3

Como os coeficientes não são constantes, métodos padrão como as soluções por expoentes não funcionam diretamente. Então, vamos tentar uma solução em série de potências, assumindo que y pode ser expresso como uma soma infinita de potências de x :
y(x) = sumn=0^infty an x^n

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de y :
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
y''(x) = sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2

Passo 5

Substituindo y e y'' na equação original:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 = e^x sumn=0^infty an x^n
Sabemos que e^x também pode ser expandido em série:
e^x = sumk=0^infty x^kk!

Passo 6

Agora, multiplicamos as séries:
e^x y = ( sumk=0^infty x^kk! ) ( sumn=0^infty an x^n ) = summ=0^infty ( sumk=0^m am - kk! ) x^m
Aqui, m = n + k é a nova variável de soma.

Passo 7

Vamos igualar os coeficientes das potências de x em ambos os lados da equação:
sumn=2^infty n(n-1) an x^n-2 = summ=0^infty ( sumk=0^m am - kk! ) x^m
Para igualar os índices, fazemos m = n - 2 , então:
n(n-1) an = sumk=0^n-2 an-2 - kk!

Passo 8

Rearranjando para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes an :
an = 1n(n-1) sumk=0^n-2 an-2 - kk!

Passo 9

Agora, usamos as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes:
  • Para x = 0 , y(0) = a0 = 1
  • Para y'(0) = 1 , y'(0) = a1 = 1

Passo 10

Com a0 = 1 e a1 = 1 , podemos usar a relação de recorrência para calcular an para n >= 2 :
  • Para n = 2 :
a2 = 12 times 1 ( a00! ) = 12 times 1 = 12
  • Para n = 3 :
a3 = 13 times 2 ( a10! + a01! ) = 16 (1 + 1) = 13
E assim por diante.

Resposta

A solução do problema de valor inicial é a série de potências:
y(x) = 1 + x + 12 x^2 + 13 x^3 + dots
Essa série representa a função y(x) que satisfaz a equação diferencial y'' - e^x y = 0 com as condições iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 1 .

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