Analogamente ao ítem anterior, achar as soluçõs dos seguintes PVI:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de valor inicial (PVI) para uma equação diferencial. A equação dada é
com as condições iniciais
e
. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias de segunda ordem com coeficientes variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender como lidar com equações lineares de segunda ordem e aplicar métodos como a série de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar mais claro:
Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes variáveis devido ao termo
.
Passo 3
Como os coeficientes não são constantes, métodos padrão como as soluções por expoentes não funcionam diretamente. Então, vamos tentar uma solução em série de potências, assumindo que
pode ser expresso como uma soma infinita de potências de
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituindo
e
na equação original:
Sabemos que
também pode ser expandido em série:
Passo 6
Agora, multiplicamos as séries:
Aqui,
é a nova variável de soma.
Passo 7
Vamos igualar os coeficientes das potências de
em ambos os lados da equação:
Para igualar os índices, fazemos
, então:
Passo 8
Rearranjando para encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes
:
Passo 9
Agora, usamos as condições iniciais para determinar os primeiros coeficientes:
- Para
, - Para
,
Passo 10
Com
e
, podemos usar a relação de recorrência para calcular
para
:
- Para
:
- Para
:
E assim por diante.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é a série de potências:
Essa série representa a função
que satisfaz a equação diferencial
com as condições iniciais
e
.