Calcule um valor aproximado da seguinte integral usando:
(i) A regra do trapézio e a regra
de Simpson;
(ii) A regra do trapézio generalizada e a regra
de Simpson generalizada com
(iiia) Para cada estimativa numérica de (i) (ii), determine um limite superior de erro
(iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
, usando a regra do trapézio generalizada
(v) Usando a regra
de Simpson generalizada em iv) encontre o número de subdivisões.
(i) A regra do trapézio e a regra
(ii) A regra do trapézio generalizada e a regra
(iiia) Para cada estimativa numérica de (i) (ii), determine um limite superior de erro
(iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a
(v) Usando a regra
Passo 1
O enunciado pede a aproximação da integral
usando as regras do trapézio e de Simpson (simples e compostas), além de limites de erro e escolha de subdivisões para erro abaixo de
. Vamos precisar das fórmulas de regra do trapézio simples e composta, de Simpson
simples e composta, e dos teoremas de cota de erro baseados em
e
.
Passo 2
(i) Regra do trapézio simples (
,
,
):
Regra de Simpson simples (
,
,
):
Passo 3
(ii) Regra do trapézio composta com
(
,
):
Regra de Simpson composta com
(
, pontos como acima):
Passo 4
(iii) Limites superiores de erro. Como
temos:
- Trapézio simples:
- Simpson simples:
- Trapézio composta (
, ):
- Simpson composta (
, ):
Passo 5
(iv) Queremos
Logo
Como
, temos
Passo 6
(v) Para Simpson composto,
Como
deve ser par, escolhemos
.
Resposta
(i) Trapézio simples
; Simpson simples
.
(ii) Trapézio composto ; Simpson composta
.
(iii) Cotas de erro:
(ii) Trapézio composto
(iii) Cotas de erro:
-
, . -
, .
(iv) Paracom erro : .
(v) Paracom erro : .