Calcule um valor aproximado da seguinte integral usando:
(i) A regra do trapézio e a regra 1 / 3 de Simpson;
(ii) A regra do trapézio generalizada e a regra 1 / 3 de Simpson generalizada com m=4
(iiia) Para cada estimativa numérica de (i) (ii), determine um limite superior de erro
(iv) Determine o número de subdivisões de modo que o erro seja inferior a 10^-5, usando a regra do trapézio generalizada
(v) Usando a regra 1 / 3 de Simpson generalizada em iv) encontre o número de subdivisões.
integral0^4(1-e^-2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a aproximação da integral
integral0^4l(1-e^-2xr),dx
usando as regras do trapézio e de Simpson (simples e compostas), além de limites de erro e escolha de subdivisões para erro abaixo de 10^-5. Vamos precisar das fórmulas de regra do trapézio simples e composta, de Simpson 1/3 simples e composta, e dos teoremas de cota de erro baseados em f''(x) e f^(4)(x).

Passo 2

(i) Regra do trapézio simples ( n=1, a=0, b=4):
f(x)=1-e^-2x, f(0)=0,;f(4)=1-e^-8approx0,9996645
T=b-a2l[f(0)+f(4)r] =42(0+0,9996645)=1,999329
Regra de Simpson simples ( m=2, h=2, x0=0,x1=2,x2=4):
f(2)=1-e^-4approx0,981684,
S=h3l[f(0)+4f(2)+f(4)r] =23l(0+4cdot0,981684+0,9996645r) approx3,284267

Passo 3

(ii) Regra do trapézio composta com n=4 ( h=1, xi=i):
f(1)approx0,864664,;f(2)approx0,981684,;f(3)approx0,997521,;f(4)approx0,9996645,
Tc=h2l[f0+2(f1+f2+f3)+f4r] =12l(0+2(0,864664+0,981684+0,997521)+0,9996645r) approx3,343702
Regra de Simpson composta com m=4 ( h=1, pontos como acima):
Sc=h3l[f0+4(f1+f3)+2f2+f4r] =13l(0+4(0,864664+0,997521)+2cdot0,981684+0,9996645r) approx3,470591

Passo 4

(iii) Limites superiores de erro. Como
f''(x)=-4e^-2x, |f''(x)|<=4,
f^(4)(x)=-16e^-2x, |f^(4)(x)|<=16,
temos:
  1. Trapézio simples:
|ET|<=(b-a)^312,M2 =4^312cdot4 =6412cdot4approx21,3333
  1. Simpson simples:
|ES|<=(b-a)^52880,m^4,M4 =4^52880cdot2^4cdot16 =1024180approx5,6889
  1. Trapézio composta ( n=4, h=1):
|ETc|<=b-a12,h^2,M2 =412cdot1^2cdot4 =1612approx1,3333
  1. Simpson composta ( m=4, h=1):
|ESc|<=b-a180,h^4,M4 =4180cdot1^4cdot16 =64180approx0,3556

Passo 5

(iv) Queremos
|ETc|<=10^-5, |ETc|<=b-a12h^2M2 =412h^2cdot4 =1612h^2<=10^-5
Logo
h^2<=12cdot10^-516=7,5times10^-6, h<=raiz7,5times10^-6approx0,0027386
Como h=(b-a)/n=4/n, temos
n>=40,0027386approx1460,6Longrightarrow n=1461

Passo 6

(v) Para Simpson composto,
|ESc|<=b-a180h^4M4 =4180h^4cdot16<=10^-5 ;Longrightarrow; h^4<=180cdot10^-564approx2,8125times10^-5,
h<=(2,8125times10^-5)^1/4approx0,0730, m>=40,0730approx54,8
Como m deve ser par, escolhemos m=56.

Resposta

(i) Trapézio simples Tapprox1,999329; Simpson simples Sapprox3,284267.
(ii) Trapézio composto Tcapprox3,343702; Simpson composta Scapprox3,470591.
(iii) Cotas de erro:
  • T!:|E|<=21,3333, S!:|E|<=5,6889.
  • Tc!:|E|<=1,3333, Sc!:|E|<=0,3556.
    (iv) Para Tc com erro <10^-5: n=1461.
    (v) Para Sc com erro <10^-5: m=56.

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