Sejam
os polinômios de Legendre, verifique que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade entre derivadas dos polinômios de Legendre
:
O truque mais direto é usar a função geradora dos
, pois a relação vale para todos os coeficientes da série em
.
Passo 2
Lembremos a função geradora clássica dos polinômios de Legendre:
Passo 3
Diferenciando
em relação a
obtemos
Também percebemos que
e
,
tomando .
e
tomando
Passo 4
Definamos a série das diferenças:
Usando as observações acima,
Passo 5
Note que
Logo
como série em
. Isso significa que todos os coeficientes
são zero.
Resposta
A identidade
vale para todo
.