Sejam Pn=Pn(x) os polinômios de Legendre, verifique que:
Pn+1^prime-2 x Pn^prime+Pn-1^prime-Pn=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade entre derivadas dos polinômios de Legendre Pn(x):
Pn+1'(x);-;2,x,Pn'(x);+;Pn-1'(x);-;Pn(x);=;0
O truque mais direto é usar a função geradora dos Pn, pois a relação vale para todos os coeficientes da série em t.

Passo 2

Lembremos a função geradora clássica dos polinômios de Legendre:
G(x,t);=;sumn=0^inftyPn(x),t^n ;=;l(1-2,x,t+t^2r)^-tfrac12

Passo 3

Diferenciando G em relação a x obtemos
partial Gpartial x ;=;sumn=0^infty Pn'(x),t^n ;=;partialxl(1-2xt+t^2r)^-tfrac12 ;=;t,l(1-2xt+t^2r)^-tfrac32
Também percebemos que
sumn=0^infty Pn+1'(x),t^n = tfrac1tsumm=1^infty Pm'(x),t^m
e
sumn=0^infty Pn-1'(x),t^n = tsumm=0^infty Pm'(x),t^m,
tomando P-1=0.

Passo 4

Definamos a série das diferenças:
S(t);=;sumn=0^inftyl[Pn+1'-2xPn'+Pn-1'-Pnr],t^n
Usando as observações acima,
S(t) =l(tfrac1t-2x+tr)sumn=0^infty Pn',t^n ;-;sumn=0^infty Pn,t^n =l(tfrac1t-2x+tr),partial Gpartial x;-;G

Passo 5

Note que
tfrac1t-2x+t =1-2xt+t^2t Longrightarrow l(tfrac1t-2x+tr),partial Gpartial x =1-2xt+t^2t;t,(1-2xt+t^2)^-tfrac32 =(1-2xt+t^2)^-tfrac12=G
Logo
S(t)=G-G=0
como série em t. Isso significa que todos os coeficientes
l[Pn+1'-2xPn'+Pn-1'-Pnr] são zero.

Resposta

A identidade
Pn+1'(x);-;2,x,Pn'(x);+;Pn-1'(x);-;Pn(x);=;0
vale para todo n.

Exercícios relacionados