Achar as soluções em torno do ponto regular x0=0 das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
(x^2+2) y^prime prime+4 x y^prime+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede duas soluções analíticas em torno de x0=0 para a equação
l(x^2+2r)y''+4x,y'+2y=0,
mostrar que elas são linearmente independentes e achar o raio de convergência das séries que representam essas soluções. Como x0=0 é ponto ordinário (pois x^2+2neq0 em x=0), vamos usar a técnica de série de potências em torno de 0.

Passo 2

Assumimos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n, y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2
Substituindo em (x^2+2)y''+4x,y'+2y=0, obtemos
x^2sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 +2sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 +4xsumn=1^inftyn,anx^n-1 +2sumn=0^inftyanx^n=0
Reagrupando potências de x^m e limpando coeficientes, chega-se ao recúrrence

Passo 3

Para cada m>=0 o coeficiente de x^m satisfaz
(m+1)(m+2),am +2,(m+2)(m+1),am+2 =0,
ou seja
am+2=-12,am
Isso separa as constantes iniciais a0 e a1 em duas séries independentes—uma para os termos pares e outra para os ímpares.

Passo 4

Da relação a2k+2=-tfrac12,a2k e a2k+3=-tfrac12,a2k+1 vêm
a2k=(-1)^ka02^k, a2k+1=(-1)^ka12^k
Logo as duas soluções fundamentais são
y1(x)=sumk=0^infty(-1)^ka02^k,x^2k =a0sumk=0^inftyl(-tfracx^22r)^k,
y2(x)=sumk=0^infty(-1)^ka12^k,x^2k+1 =a1,xsumk=0^inftyl(-tfracx^22r)^k
Escolhendo a0=1,,a1=0 e a0=0,,a1=1, temos
y1(x)=11+tfracx^22 =2x^2+2, y2(x)=x1+tfracx^22 =2xx^2+2

Passo 5

Para verificar independência linear, calculamos o Wronskiano:
W(y1,y2)(x) = y1 & y2 y1' & y2' = 2x^2+2 cdot 2(x^2-2)(x^2+2)^2 - 2xx^2+2 cdot -4x(x^2+2)^2 = 4(x^2+2)^2 neq 0
Como W neq 0, y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 6

O raio de convergência da série geométrica sum(-x^2/2)^k é dado pela condição
l|-x^2/2r|<1iff |x|<raiz2

Resposta

As duas soluções independentes em torno de x=0 são
y1(x)=2x^2+2, y2(x)=2xx^2+2,
e o raio de convergência das séries é R=raiz2.

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