Achar as soluções em torno do ponto regular das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado pede duas soluções analíticas em torno de para a equação
mostrar que elas são linearmente independentes e achar o raio de convergência das séries que representam essas soluções. Como é ponto ordinário (pois em ), vamos usar a técnica de série de potências em torno de .
Passo 2
Assumimos
Substituindo em , obtemos
Reagrupando potências de e limpando coeficientes, chega-se ao recúrrence
Passo 3
Para cada o coeficiente de satisfaz
ou seja
Isso separa as constantes iniciais e em duas séries independentes—uma para os termos pares e outra para os ímpares.
Passo 4
Da relação e vêm
Logo as duas soluções fundamentais são
Escolhendo e , temos
Passo 5
Para verificar independência linear, calculamos o Wronskiano:
Como W neq 0, y1 e y2 são linearmente independentes.
Passo 6
O raio de convergência da série geométrica sum(-x^2/2)^k é dado pela condição l|-x^2/2r|<1iff |x|<raiz2
Resposta
As duas soluções independentes em torno de x=0 são