Analogamente ao ítem anterior, achar as soluçõs dos seguintes PVI:
ly^prime prime+x y^prime-2 y=0 y(0)=1 y^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
y'' + x,y' - 2,y = 0, y(0)=1, y'(0)=0,
que é uma EDO de segunda ordem com coeficiente variável. Vamos usar o método de série de potências em torno de x=0.

Passo 2

Suponha uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n
Então
y'(x)=sumn=1^inftyn,an,x^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1),an,x^n-2

Passo 3

Substituindo em y'' + x,y' -2y=0 obtemos
sumn=2^infty n(n-1),an,x^n-2 +;xsumn=1^infty n,an,x^n-1 -2sumn=0^infty an,x^n =0
Reindexando para igualar potências x^m:
summ=0^infty (m+2)(m+1),am+2,x^m +summ=1^infty m,am,x^m -2summ=0^infty am,x^m =0

Passo 4

Juntando os termos para cada m:
  • Para m=0:
2cdot1,a2-2,a0=0 Longrightarrow a2=a0
  • Para m>=1:
(m+2)(m+1),am+2+(m-2),am=0 Longrightarrow am+2=-m-2(m+2)(m+1),am

Passo 5

As condições iniciais dão
y(0)=a0=1, y'(0)=a1=0

Passo 6

Usando o recorrente e sabendo que a1=0, todos os a2k+1=0. Para os índices pares:
a0=1, a2=a0=1, a4=-2-24cdot3a2=0,
e a partir daí a6,a8,dots também ficam zero. Logo a série reduz-se a
y(x)=a0+a2x^2=1+x^2

Resposta

y(x)=1+x^2

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