Fazendo a mudança x=t-x0, achar os 10 primeiros termos de cada solução dos seguintes PVI:
l(4 t^2+16 t+17) y^prime prime-8 y=0 y(-2)=1 y^prime(-2)=0

Passo 1

O enunciado dá o PVI
l(4t^2+16t+17r),y''-8y=0, y(-2)=1, y'(-2)=0,
e pede os 10 primeiros termos de cada uma das duas soluções em série ao redor do ponto t=-2. O conteúdo é o método das séries de potências em torno de um ponto ordinário, e vamos precisar:
1. trocar de variável para centrar em t=-2;
2. assumir y(x)=sumn=0^infty anx^n;
3. achar a recorrência e dois sistemas iniciais a0,a1.

Passo 2

Fazendo
x = t -(-2)=t+2,
temos t=x-2 e
4t^2+16t+17=4(x-2)^2+16(x-2)+17=4x^2+1
A equação vira
(4x^2+1)y''-8y=0,
com condições y(0)=1, y'(0)=0.

Passo 3

Assumimos
y(x)=sumn=0^infty anx^n, y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2,x^n
Substituindo em (4x^2+1)y''-8y=0 e coletando potências de x^n obtém-se a relação para n>=0:
(n+2)(n+1)an+2-8an+4,n(n-1)an=0 Longrightarrow an+2 =8-4,n(n-1)(n+2)(n+1),an

Passo 4

Primeira solução (tomamos a0=1, a1=0 para satisfazer y(0)=1,;y'(0)=0):
  • n=0: a2=tfrac8-02cdot1a0=4.
  • n=1: a3=tfrac8-43cdot2a1=0.
  • Para n>=2, todos os an+2 envolvem an que é zero quando n é ímpar maior que 1, e quando n é par >=2 em geral dá zero. Assim os 10 primeiros coeficientes são
a0=1,; a1=0,; a2=4,; a3=0,; a4=0,; a5=0,; a6=0,; a7=0,; a8=0,; a9=0
Logo
y1(x)=1+4x^2

Passo 5

Segunda solução (tomamos a0=0, a1=1 para formar o sistema fundamental):
  • n=0: a2=4cdot0=0.
  • n=1: a3=tfrac8-43cdot2,a1=tfrac46=tfrac23.
    (Verifique: na verdade tfrac8-4cdot1cdot03cdot2= tfrac86=tfrac43, corrigindo:)
a3=43
  • n=2: a4=0.
  • n=3: a5=tfrac8-245cdot4a3=-tfrac1620cdottfrac43=-tfrac1615
  • n=4: a6=0.
  • n=5: a7=tfrac8-807cdot6a5=-tfrac7242cdotl(-tfrac1615r)=tfrac6435
  • n=6: a8=0.
  • n=7: a9=tfrac8-1689cdot8a7=-tfrac16072cdottfrac6435=-tfrac25663
    Os 10 primeiros coeficientes são
a0=0,; a1=1,; a2=0,; a3=tfrac43,; a4=0,; a5=-tfrac1615,; a6=0,; a7=tfrac6435,; a8=0,; a9=-tfrac25663
Assim
y2(x) =x+43x^3-1615x^5+6435x^7-25663x^9

Resposta

As duas soluções em série ao redor de t=-2 (isto é, em x=t+2) são
y1(x)=1+4x^2,
y2(x)=x+43x^3-1615x^5+6435x^7-25663x^9
Em termos de t, basta substituir x=t+2.

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