Achar as soluções em torno do ponto regular
das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos resolver a EDO linear de segunda ordem
em torno do ponto regular
. O método será desenvolver
calcular
, substituir na EDO e extrair uma relação de recorrência para os coeficientes
.
Passo 2
Suponha
Substituindo em
dá
Reindexando o primeiro somatório com
e o segundo com
, obtemos para o coeficiente de
:
valendo esta última para
, e para
vem
.
Passo 3
Da equação em
temos
Para
a relação geral é
o que liga cada coeficiente a outro três índices atrás (
a
).
Passo 4
Como a EDO é de segunda ordem, escolhemos duas condições iniciais independentes:
-
.
Daí
Gera a solução -
.
Então
Gera a solução
Passo 5
Para mostrar que
e
são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano em
:
Portanto são independentes.
Passo 6
Pela relação de recorrência nota-se que para grandes índices
o que, via critério da razão, implica raio de convergência infinito:
Resposta
As duas soluções em série em torno de
x=0 são
são linearmente independentes e têm raio de convergência
R=infty .