Achar as soluções em torno do ponto regular x0=0 das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
y^prime prime+2 x y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a EDO linear de segunda ordem
y'' + 2x,y = 0
em torno do ponto regular x0=0. O método será desenvolver
y=sumn=0^inftyan,x^n,
calcular y'', substituir na EDO e extrair uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Suponha
y=sumn=0^inftyanx^n Longrightarrow y''=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2
Substituindo em y''+2xy=0
sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2 +2xsumn=0^inftyanx^n =0
Reindexando o primeiro somatório com m=n-2 e o segundo com m=n+1, obtemos para o coeficiente de x^m:
(m+2)(m+1),am+2 ;+;2,am-1=0,
valendo esta última para m>=1, e para m=0 vem (2cdot1),a2=0.

Passo 3

Da equação em x^0 temos
a2=0
Para m>=1 a relação geral é
am+2=-2,am-1(m+2)(m+1),
o que liga cada coeficiente a outro três índices atrás ( am+2 a am-1).

Passo 4

Como a EDO é de segunda ordem, escolhemos duas condições iniciais independentes:
  1. a0=1,;a1=0.
    Daí a2=0,;a3=-tfrac2a03cdot2=-tfrac13,;a6=tfrac145,dots
    Gera a solução y1(x)=1-x^33+x^645-cdots
  2. a0=0,;a1=1.
    Então a2=0,;a3=0,;a4=-tfrac2a14cdot3=-tfrac16,;a7=tfrac1126,dots
    Gera a solução y2(x)=x-x^46+x^7126-cdots

Passo 5

Para mostrar que y1 e y2 são linearmente independentes, calculamos o Wronskiano em x=0:
W(0)= y1(0) & y2(0) y1'(0) & y2'(0) = 1 & 0 0 & 1 =1neq0
Portanto são independentes.

Passo 6

Pela relação de recorrência nota-se que para grandes índices
l|an+3/anr|sim2n^2to0,
o que, via critério da razão, implica raio de convergência infinito:
R=infty

Resposta

As duas soluções em série em torno de x=0 são
y1(x)=1-x^33+x^645-cdots, y2(x)=x-x^46+x^7126-cdots,
são linearmente independentes e têm raio de convergência R=infty.

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