Fazendo a mudança x=t-x0, achar os 10 primeiros termos de cada solução dos seguintes PVI:
l(2 t-t^2) y^prime prime-6(t-1) y^prime-4 y=0 y(1)=0 y^prime(1)=1

Passo 1

O enunciado dá o PVI
(2t - t^2),y'' - 6(t-1),y' - 4y = 0, y(1)=0,;y'(1)=1
O conteúdo é solução em série de potências em torno de t=1. Vamos fazer a mudança de variável x = t-1 e buscar duas soluções fundamentais em série y(x)=sumn>=0anx^n, depois impor as condições iniciais para obter a série única.

Passo 2

Fazendo x = t-1 temos t = x+1 e
2t - t^2 = 2(x+1) - (x+1)^2 = 1 - x^2, t-1 = x
A EDO transforma-se em
(1-x^2),y'' - 6x,y' - 4y = 0

Passo 3

Assumimos
y(x) = sumn=0^inftyan x^n, y'(x) = sumn=1^inftyn,an x^n-1, y''(x) = sumn=2^inftyn(n-1),an x^n-2
Substituindo em (1-x^2)y'' -6x y' -4y=0 e recolhendo coeficientes de x^n, obtemos um único relacionamento.

Passo 4

O coeficiente de x^n leva à recorrência
(n+2)(n+1),an+2 - n(n-1),an -6n,an -4,an = 0 ;Longrightarrow; an+2 = n^2+5n+4(n+2)(n+1),an = (n+1)(n+4)(n+2)(n+1),an = n+4n+2,an
Isso separa os termos pares e ímpares.

Passo 5

Solução par y1: tomo a0=1,;a1=0.
Da recorrência:
a2 = 0+40+2a0 = 2, a4 = 2+42+2a2 = 64cdot2 = 3, a6 = 4+44+2a4 = 86cdot3 = 4,
a8 = 6+46+2a6 = 108cdot4 = 5, a10 = 8+48+2a8 = 1210cdot5 = 6
Os 10 primeiros termos (incluindo zeros nos ímpares) são:
y1(x) = 1 + 0,x + 2,x^2 + 0,x^3 + 3,x^4 + 0,x^5 + 4,x^6 + 0,x^7 + 5,x^8 + 0,x^9 + cdots

Passo 6

Solução ímpar y2: tomo a0=0,;a1=1.
Da recorrência:
a3 = 1+41+2a1 = 53, a5 = 3+43+2a3 = 75cdot53 = 73,
a7 = 5+45+2a5 = 97cdot73 = 3, a9 = 7+47+2a7 = 119cdot 3 = 113
Os 10 primeiros termos são:
y2(x) = 0 + 1,x + 0,x^2 + tfrac53x^3 + 0,x^4 + tfrac73x^5 + 0,x^6 + 3,x^7 + 0,x^8 + tfrac113x^9 + cdots

Passo 7

A solução geral é y = C1y1 + C2y2. Como y(0)=0 C1=0 e y'(0)=1 C2=1, o PVI é resolvido por y=y2.

Resposta

y1(x) = 1 +0,x +2,x^2 +0,x^3 +3,x^4 +0,x^5 +4,x^6 +0,x^7 +5,x^8 +0,x^9 + cdots
y2(x) = 0 +1,x +0,x^2 +53x^3 +0,x^4 +73x^5 +0,x^6 +3,x^7 +0,x^8 +113x^9 + cdots
O PVI com y(1)=0,;y'(1)=1 corresponde a y(x)=y2(x).

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