Fazendo a mudança
, achar os 10 primeiros termos de cada solução dos seguintes PVI:
Passo 1
O enunciado dá o PVI
O conteúdo é solução em série de potências em torno de
t=1 . Vamos fazer a mudança de variável
x = t-1 e buscar duas soluções fundamentais em série
y(x)=sumn>=0anx^n , depois impor as condições iniciais para obter a série única.
Passo 2
Fazendo
x = t-1 temos
t = x+1 e
A EDO transforma-se em
Passo 3
Assumimos
Substituindo em
(1-x^2)y'' -6x y' -4y=0 e recolhendo coeficientes de
x^n , obtemos um único relacionamento.
Passo 4
O coeficiente de
x^n leva à recorrência
Isso separa os termos pares e ímpares.
Passo 5
Solução par
y1 : tomo
a0=1,;a1=0 .
Da recorrência:
Da recorrência:
Os 10 primeiros termos (incluindo zeros nos ímpares) são:
Passo 6
Solução ímpar
y2 : tomo
a0=0,;a1=1 .
Da recorrência:
Da recorrência:
Os 10 primeiros termos são:
Passo 7
A solução geral é
y = C1y1 + C2y2 . Como
y(0)=0 dá
C1=0 e
y'(0)=1 dá
C2=1 , o PVI é resolvido por
y=y2 .
Resposta
O PVI com
y(1)=0,;y'(1)=1 corresponde a
y(x)=y2(x) .