Sejam Pn=Pn(x) os polinômios de Legendre, verifique que:
Pn^prime(-1)=(-1)^n-1 n(n+1)2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, para os polinômios de Legendre Pn(x), vale
Pn'(-1)=(-1)^n-1,n(n+1)2
O que vamos usar é a fórmula de Rodrigues e a regra de Leibniz para derivadas de produto.

Passo 2

Pela fórmula de Rodrigues temos
Pn(x) =12^n,n!,d^ndx^nl[(x^2-1)^nr]
Diferenciando uma vez a mais,
Pn'(x) =12^n,n!,d^n+1dx^n+1l[(x^2-1)^nr]

Passo 3

Como (x^2-1)^n=(x+1)^n(x-1)^n, aplicamos a regra de Leibniz para a derivada de ordem n+1:
d^n+1dx^n+1l[(x+1)^n(x-1)^nr] =sumk=0^n+1binomn+1k l[(x+1)^nr]^(k) ;l[(x-1)^nr]^(n+1-k)
Queremos avaliar isso em x=-1.

Passo 4

No ponto x=-1 temos (x+1)=0. Logo para 0<= k<= n-1 a derivada k-ésima de (x+1)^n contém um fator (x+1)^n-kneq 0 avaliado em -1, dando zero. Além disso, para k=0 a derivada de ordem n+1 de (x-1)^n também é zero (grau menor). A única contribuição vem de k=n:
binomn+1n ,(x+1)^n,(n)|x=-1 ;,(x-1)^n,(1)|x=-1

Passo 5

Calculemos cada fator:
binomn+1n=n+1, l[(x+1)^nr]^(n)=n!, l[(x-1)^nr]'=n,(x-1)^n-1
Em x=-1 temos (x-1)^n-1=(-2)^,n-1. Portanto
d^n+1dx^n+1l[(x^2-1)^nr]|x=-1 =(n+1),n!;n,(-2)^,n-1 =n!,(n+1),n,(-2)^,n-1

Passo 6

Substituindo em Pn'(-1):
Pn'(-1) =12^n,n!;n!,(n+1),n,(-2)^,n-1 =n(n+1)2^n;(-2)^,n-1 =(-1)^n-1,n(n+1)2

Resposta

Pn'(-1) =(-1)^n-1,n(n+1)2

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