Achar as soluções em torno do ponto regular x0=0 das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
(x^2+1) y^prime prime+6 x y^prime+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede as soluções em torno de x0=0 da equação
l(x^2+1r)y''+6x,y'+4y=0,
que é uma EDO com coeficientes analíticos em x=0 (ponto regular). Vamos usar séries de potências em x para obter duas soluções linearmente independentes e, em seguida, determinar o raio de convergência delas.

Passo 2

Supomos
y(x)=sumn=0^inftyanx^n, y'(x)=sumn=1^inftyn,anx^n-1, y''(x)=sumn=2^inftyn(n-1)anx^n-2
Substituindo em (x^2+1)y''+6x,y'+4y=0 e recolhendo termos em potências de x^n
sumn=0^inftyl[(n+2)(n+1)an+2+(n+1)(n+4)anr]x^n=0
Logo o coeficiente de x^n força a recorrência
(n+2)(n+1)an+2+(n+1)(n+4)an=0 Longrightarrow an+2=-n+4n+2,an

Passo 3

Como a recorrência liga an+2 a an, existem duas séries independentes:
1. A parte par, tomando a0neq0 e a1=0. Para n=2k:
a2k=(-1)^kl(prodi=0^k-12i+42i+2r),a0 =(-1)^k(k+1),a0
Assim
y1(x)=a0sumk=0^infty(-1)^k(k+1),x^2k
2. A parte ímpar, tomando a1neq0 e a0=0. Para n=2k+1:
a2k+1=(-1)^kl(prodi=0^k-12i+52i+3r),a1 =(-1)^k2k+33,a1
Portanto
y2(x)=a1sumk=0^infty(-1)^k2k+33,x^2k+1

Passo 4

Podemos reconhecer essas séries como somas conhecidas:
sumk=0^infty(k+1)t^k=1(1-t)^2, sumk=0^infty(2k+3)t^k=3+ t(1-t)^2
Com t=-x^2 obtemos em forma fechada, escolhendo a0=1 e a1=1:
y1(x)=1(1+x^2)^2, y2(x)=x,(3+x^2)3,(1+x^2)^2

Passo 5

Para verificar que são independentes calculamos o Wronskiano
W(y1,y2)(x) = y1&y2 y1'&y2' =const(1+x^2)^3neq0 forall xinR,
logo y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 6

Os únicos polinômios envolvem (1+x^2)^-2, que se expande em potências de x^2 com raio de convergência até o polo mais próximo em x=pm i. Assim o raio de convergência em torno de x=0 é
R=1

Resposta

As duas soluções linearmente independentes são
y1(x)=1(1+x^2)^2, y2(x)=x,(3+x^2)3,(1+x^2)^2,
e o raio de convergência em x0=0 é R=1.

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