Achar as soluções em torno do ponto regular das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
Passo 1
O enunciado pede as soluções em torno de da equação
que é uma EDO com coeficientes analíticos em (ponto regular). Vamos usar séries de potências em para obter duas soluções linearmente independentes e, em seguida, determinar o raio de convergência delas.
Passo 2
Supomos
Substituindo em e recolhendo termos em potências de dá
Logo o coeficiente de força a recorrência
Passo 3
Como a recorrência liga a , existem duas séries independentes: . A parte par, tomando e . Para :
Assim
. A parte ímpar, tomando e . Para :
Portanto
Passo 4
Podemos reconhecer essas séries como somas conhecidas:
Com obtemos em forma fechada, escolhendo e :
Passo 5
Para verificar que são independentes calculamos o Wronskiano
logo y1 e y2 são linearmente independentes.
Passo 6
Os únicos polinômios envolvem (1+x^2)^-2, que se expande em potências de x^2 com raio de convergência até o polo mais próximo em x=pm i. Assim o raio de convergência em torno de x=0 é