Determine se existe
para que a função seja contínua no ponto
:
Passo 1
Olha só, a gente precisa descobrir se existe um valor real
que faz com que a função
seja contínua no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em
, o limite de
quando
se aproxima de
precisa ser igual a
. Então, temos que:
Passo 3
Vamos analisar o limite. Primeiro, observamos o termo
. Para valores de
próximos de 0, podemos aproximar
usando a série de Taylor:
Isso porque
quando
é pequeno.
Passo 4
Substituindo essa aproximação na função, temos:
Agora, precisamos calcular o limite dessa nova expressão quando
tende a
.
Passo 5
Vamos facilitar a análise convertendo para coordenadas polares, onde
e
. Assim,
tende a 0. Substituindo na expressão:
Passo 6
Agora, calculamos o limite quando
:
Isso porque
tende a 0, independentemente dos valores de
.
Resposta
Existe
que torna a função contínua no ponto
.