Determine se existe M in R para que a função seja contínua no ponto (0,0) :
f(x, y)=clx y^2 ln (x^2+1)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) M & , se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Olha só, a gente precisa descobrir se existe um valor real M que faz com que a função f(x, y) seja contínua no ponto (0,0) . Para isso, vamos usar conceitos de limites e continuidade de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser contínua em (0,0) , o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) precisa ser igual a f(0,0) = M . Então, temos que:
lim(x,y) to (0,0) x y^2 ln (x^2+1)x^2+y^2 = M

Passo 3

Vamos analisar o limite. Primeiro, observamos o termo ln(x^2 + 1) . Para valores de x próximos de 0, podemos aproximar ln(x^2 + 1) usando a série de Taylor:
ln(x^2 + 1) approx x^2
Isso porque ln(1 + u) approx u quando u é pequeno.

Passo 4

Substituindo essa aproximação na função, temos:
x y^2 cdot x^2x^2 + y^2 = x^3 y^2x^2 + y^2
Agora, precisamos calcular o limite dessa nova expressão quando (x, y) tende a (0,0) .

Passo 5

Vamos facilitar a análise convertendo para coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta . Assim, r tende a 0. Substituindo na expressão:
(r costheta)^3 (r sintheta)^2r^2 = r^5 cos^3theta sin^2thetar^2 = r^3 cos^3theta sin^2theta

Passo 6

Agora, calculamos o limite quando r to 0 :
limr to 0 r^3 cos^3theta sin^2theta = 0
Isso porque r^3 tende a 0, independentemente dos valores de theta .

Resposta

Existe M = 0 que torna a função contínua no ponto (0,0) .

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