Determine se existe M in R para que a função seja contínua no ponto (0,0) :
f(x, y)=clsen(raizx^2+y^2)x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) M & , se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)= dfracsenl(raizx^2+y^2r)x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), M,&se (x,y)=(0,0),
e quer saber se existe algum MinR que torne f contínua em (0,0). Para isso precisamos verificar se
lim(x,y)to(0,0)senl(raizx^2+y^2r)x^2+y^2
existe como um número real, pois continuidade exigiria esse limite igual a M.

Passo 2

Para estudar o limite, trocamos para coordenadas polares:
r=raizx^2+y^2, theta=arctan yx
Então, para (x,y)neq(0,0),
f(x,y)=sen(r)r^2
O problema de continuidade em (0,0) vira estudar
limrto 0^+sen(r)r^2

Passo 3

Usamos a expansão de Taylor de sen(r) em torno de r=0:
sen(r)=r-r^36+O(r^5)
Logo
sen(r)r^2 =r-tfracr^36+O(r^5)r^2 = rr^2-r^36,r^2+O(r^3) =1r- r6+O(r^3)
Quando rto0^+, o termo 1r domina e tende a +infty. Portanto
limrto 0^+sen(r)r^2=+infty,
isto é, o limite não converge para um número real.

Passo 4

Como o limite de f(x,y) ao nos aproximarmos de (0,0) não é finito, não há valor real de M que iguale f(0,0)=M a esse limite. Logo a função não pode ser feita contínua em (0,0) por nenhum MinR.

Resposta

Não existe MinR que torne f contínua em (0,0).

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