Achar as soluções em torno do ponto regular das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência: , edo de Airy
Passo 1
O enunciado pede as duas soluções em série em torno de da equação de Airy
verificando que são linearmente independentes e determinando o raio de convergência. Vamos aplicar o método de série de potências num ponto regular, ou seja, assumir uma solução da forma
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes .
Passo 2
Computamos as derivadas da série proposta. Como
temos
Passo 3
Substituindo na equação , obtemos
Para comparar potências iguais de , reindexamos a segunda soma: seja , então
onde entendemos .
Passo 4
Igualando os coeficientes de para todo , vem
Para aparece , ou seja . Para a relação de recorrência é
Passo 5
Como a recorrência mistura índices e , veremos que as séries separam em duas soluções independentes: uma gerada por e outra por , com .
Da parte que envolve (tomando , ) obtemos não-nulos apenas os :
Logo a primeira solução é
Passo 6
Da parte que envolve (tomando , ) obtemos não-nulos apenas os :
Logo a segunda solução é
Passo 7
Para verificar a independência linear basta observar que e mas . O Wronskiano em é
logo são linearmente independentes.
Passo 8
Como a relação de recorrência satisfaz
o raio de convergência de ambas as séries é infinito.
Resposta
As duas soluções fundamentais em série são
y1(x) =1+x^36+x^6180+cdots,
y2(x) =x+x^412+x^7504+cdots,
elas são linearmente independentes e têm raio de convergência R=infty.