Achar as soluções em torno do ponto regular x0=0 das seguintes edos, verificando que são linearmente independentes e determinando seu raio de convergência:
y^prime prime-x y=0, edo de Airy

Passo 1

O enunciado pede as duas soluções em série em torno de x0=0 da equação de Airy
y'' - x,y = 0,
verificando que são linearmente independentes e determinando o raio de convergência. Vamos aplicar o método de série de potências num ponto regular, ou seja, assumir uma solução da forma
y(x)=sumn=0^inftyanx^n
e encontrar uma relação de recorrência para os coeficientes an.

Passo 2

Computamos as derivadas da série proposta. Como
y(x)=sumn=0^inftyanx^n,
temos
y''(x)=sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n

Passo 3

Substituindo na equação y''-x,y=0, obtemos
sumn=0^infty(n+2)(n+1),an+2,x^n ;-; sumn=0^inftyan,x^n+1 ;=;0
Para comparar potências iguais de x, reindexamos a segunda soma: seja m=n+1, então
sumn=0^inftyan,x^n+1 =summ=1^inftyam-1,x^m =sumn=0^inftyan-1,x^n,
onde entendemos a-1=0.

Passo 4

Igualando os coeficientes de x^n para todo n>=0, vem
(n+2)(n+1),an+2-an-1=0
Para n=0 aparece 2cdot1,a2-a-1=0, ou seja a2=0. Para n>=1 a relação de recorrência é
an+2=an-1(n+2)(n+1)

Passo 5

Como a recorrência mistura índices n+2 e n-1, veremos que as séries separam em duas soluções independentes: uma gerada por a0 e outra por a1, com a2=0.
Da parte que envolve a0 (tomando a0=1, a1=0) obtemos não-nulos apenas os a3m:
a3=a03cdot2=16, a6=a36cdot5=1180,;dots
Logo a primeira solução é
y1(x)=1+x^36+x^6180+cdots =summ=0^inftyx^3m(3m)!,1prodk=1^m(3k-1)(3k-2)

Passo 6

Da parte que envolve a1 (tomando a0=0, a1=1) obtemos não-nulos apenas os a3m+1:
a4=a14cdot3=112, a7=a47cdot6=1504,;dots
Logo a segunda solução é
y2(x)=x+x^412+x^7504+cdots =summ=0^inftyx^3m+1(3m+1)!,1prodk=1^m(3k)(3k-1)

Passo 7

Para verificar a independência linear basta observar que e mas . O Wronskiano em é
logo são linearmente independentes.

Passo 8

Como a relação de recorrência satisfaz
l|an+2/an-1r|sim 1n^2,
o raio de convergência de ambas as séries é infinito.

Resposta

As duas soluções fundamentais em série são
y1(x) =1+x^36+x^6180+cdots,
y2(x) =x+x^412+x^7504+cdots,
elas são linearmente independentes e têm raio de convergência R=infty.

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