Sejam
os polinômios de Legendre, verifique que:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para os polinômios de Legendre
, vale
Vamos usar a relação de recorrência de Bonnet e a propriedade geral
para definir
e obter uma recorrência em
.
Passo 2
A relação de Bonnet é
Diferenciando em
vem
Tomando
e usando
, obtemos a recorrência para
:
Passo 3
Vamos verificar por indução que
satisfaz a recorrência e as bases.
Base :
.
Base :
.
Supondo válidos para e
, o lado direito da recorrência torna-se
Base
Base
Supondo válidos para
que é exatamente
com
. Logo a fórmula vale para todo
.