Sejam Pn=Pn(x) os polinômios de Legendre, verifique que:
Pn^prime(1)=n(n+1)2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para os polinômios de Legendre Pn(x), vale
Pn'(1)=n(n+1)2
Vamos usar a relação de recorrência de Bonnet e a propriedade geral
Pn(1)=1
para definir
an = Pn'(1)
e obter uma recorrência em an.

Passo 2

A relação de Bonnet é
(n+1),Pn+1(x) ;=;(2n+1),x,Pn(x);-;n,Pn-1(x)
Diferenciando em x vem
(n+1),Pn+1'(x) =(2n+1)l(Pn(x)+x,Pn'(x)r)-n,Pn-1'(x)
Tomando x=1 e usando Pk(1)=1, obtemos a recorrência para an=Pn'(1):
(n+1),an+1 ;=;(2n+1),(1 + an);-;n,an-1

Passo 3

Vamos verificar por indução que
an = n(n+1)2
satisfaz a recorrência e as bases.
Base n=0: a0=P0'(1)=0.
Base n=1: a1=P1'(1)=1.
Supondo válidos para n-1 e n, o lado direito da recorrência torna-se
(2n+1)l(1+n(n+1)2r)-n;(n-1)n2 =(n+1)^2(n+2)2,
que é exatamente (n+1),an+1 com an+1=tfrac(n+1)(n+2)2. Logo a fórmula vale para todo n.

Resposta

Pn'(1)=n(n+1)2

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