Sejam
os polinômios de Legendre, verifique que:
Passo 1
O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo os polinômios de Legendre
:
O conteúdo principal é a teoria de geradoras dos polinômios de Legendre e extração de coeficientes de séries de potências. Para resolver, vamos usar a função geratriz clássica e as relações entre derivadas parciais dessa geratriz.
Passo 2
Definimos a função geratriz dos
:
Dessa definição segue que
e
Passo 3
Vamos calcular explicitamente as derivadas de
a partir de sua forma fechada.
Diferenciando em
:
Multiplicando por
e comparando:
Agora a derivada em
:
e portanto
Passo 4
Considere a combinação
Substituindo as expressões obtidas:
Logo
Passo 5
Como
e
, cada coeficiente na expansão em
deve ser zero. Portanto
como era para verificar.
Resposta
A igualdade está verificada.