Sejam Pn=Pn(x) os polinômios de Legendre, verifique que:
x Pn^prime-Pn-1^prime-n Pn=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar a identidade envolvendo os polinômios de Legendre Pn(x):
x,Pn'(x);-;Pn-1'(x);-;n,Pn(x);=;0
O conteúdo principal é a teoria de geradoras dos polinômios de Legendre e extração de coeficientes de séries de potências. Para resolver, vamos usar a função geratriz clássica e as relações entre derivadas parciais dessa geratriz.

Passo 2

Definimos a função geratriz dos Pn(x):
G(x,t);=;1raiz1-2x,t+t^2 ;=;sumn=0^inftyPn(x),t^n
Dessa definição segue que
partial Gpartial x ;=;sumn=0^inftyPn'(x),t^n,
e
t,partial Gpartial t ;=;sumn=0^inftyn,Pn(x),t^n

Passo 3

Vamos calcular explicitamente as derivadas de G a partir de sua forma fechada.
G(x,t)=(1-2x,t+t^2)^-1/2
Diferenciando em x:
partial Gpartial x =;-tfrac12,(1-2x,t+t^2)^-3/2,l(-2tr) =;t,(1-2x,t+t^2)^-3/2
Multiplicando por t e comparando:
t,partial Gpartial x =;t^2,(1-2x,t+t^2)^-3/2
Agora a derivada em t:
partial Gpartial t =;-tfrac12,(1-2x,t+t^2)^-3/2,l(-2x+2tr) =;(x - t),(1-2x,t+t^2)^-3/2,
e portanto
t,partial Gpartial t =;(x,t - t^2),(1-2x,t+t^2)^-3/2

Passo 4

Considere a combinação
H(x,t) =;x,partial Gpartial x ;-;t,partial Gpartial x ;-;t,partial Gpartial t
Substituindo as expressões obtidas:
x,partial Gpartial x =x,t,(1-2xt+t^2)^-3/2, t,partial Gpartial x =t^2,(1-2xt+t^2)^-3/2, t,partial Gpartial t =(x,t - t^2),(1-2xt+t^2)^-3/2
Logo
H(x,t) =l(x,t - t^2 - (x,t - t^2)r),(1-2xt+t^2)^-3/2 =0

Passo 5

Como
H(x,t) =sumn=0^inftyl(x,Pn'(x)-Pn-1'(x)-n,Pn(x)r)t^n
e H(x,t)equiv0, cada coeficiente na expansão em t deve ser zero. Portanto
x,Pn'(x);-;Pn-1'(x);-;n,Pn(x)=0 forall,n>=1,
como era para verificar.

Resposta

A igualdade está verificada.

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