Uma chapa metálica fina está sendo projetada para formar a base de um refletor parabólico. Ela ocupa a região no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pela parabola
. A densidade superficial da chapa varia com a posição e é dada por
.
a) Calcule a massa total da chapa.
b) Determine o centro de massa (
), que indica o ponto onde um suporte deve ser colocado para equilibrar a estrutura sem tombar.
a) Calcule a massa total da chapa.
b) Determine o centro de massa (
Passo 1
O enunciado descreve uma chapa no primeiro quadrante limitada por
,
e pela parábola
. A densidade superficial é
.
Conteúdo: cálculo de massa e centro de massa por integrais duplas.
Conteúdo: cálculo de massa e centro de massa por integrais duplas.
Passo 2
Para achar a massa total
usamos
onde
. Assim,
Calculemos a integral em
:
Portanto
Passo 3
O momento em relação ao eixo
é
Fazendo as contas chega-se a
Logo a abscissa do centro de massa é
Passo 4
O momento em relação ao eixo
é
Daí a ordenada do centro de massa é
Resposta
(a)
kg.
(b) .
(b)