Uma chapa metálica fina está sendo projetada para formar a base de um refletor parabólico. Ela ocupa a região no primeiro quadrante limitada pelos eixos coordenados e pela parabola y=4-x^{2}. A densidade superficial da chapa varia com a posição e é dada por \rho(x, y)=x+2 y\left(\mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{2}\right).
a) Calcule a massa total da chapa. (\mathbf{1 , 0})
b) Determine o centro de massa ( \bar{x}, \bar{y} ), que indica o ponto onde um suporte deve ser colocado para equilibrar a estrutura sem tombar. (\mathbf{1 , 0})

Passo 1

O enunciado descreve uma chapa no primeiro quadrante limitada por x=0, y=0 e pela parábola y=4 - x^2. A densidade superficial é \rho(x,y)=x+2y.
Conteúdo: cálculo de massa e centro de massa por integrais duplas.

Passo 2

Para achar a massa total M usamos
M=\iint_{D}\rho(x,y)\,dA
onde D=\{(x,y)\mid 0\le x\le2,\;0\le y\le4-x^2\}. Assim,
M=\int_{x=0}^{2}\!\int_{y=0}^{4-x^2}(x+2y)\,dy\,dx.
Calculemos a integral em y:
\int_{0}^{4-x^2}(x+2y)\,dy = x\,(4-x^2)+\bigl(4-x^2\bigr)^2.
Portanto
M=\int_{0}^{2}\bigl[x(4-x^2)+(4-x^2)^2\bigr]dx =\frac{316}{15}\,.

Passo 3

O momento em relação ao eixo y é
M_y=\iint_{D}x\,\rho(x,y)\,dA =\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{4-x^2}x(x+2y)\,dy\,dx.
Fazendo as contas chega-se a
M_y=\frac{224}{15}.
Logo a abscissa do centro de massa é
\bar x=\frac{M_y}{M} =\frac{\tfrac{224}{15}}{\tfrac{316}{15}} =\frac{224}{316} =\frac{56}{79}.

Passo 4

O momento em relação ao eixo x é
M_x=\iint_{D}y\,\rho(x,y)\,dA =\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{4-x^2}y(x+2y)\,dy\,dx =\frac{1552}{35}.
Daí a ordenada do centro de massa é
\bar y=\frac{M_x}{M} =\frac{\tfrac{1552}{35}}{\tfrac{316}{15}} =\frac{1164}{553}.

Resposta

(a) M=\displaystyle \tfrac{316}{15} kg.
(b) \displaystyle (\bar x,\bar y)=\bigl(\tfrac{56}{79},\tfrac{1164}{553}\bigr).

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