Determine a área da superfície de revolução gerada pelas funções abaixo, em torno do eixo x .
x y=1,1 <= x <= 2

Passo 1

Temos a curva definida por
y=1x em ,1<= x<=2, e queremos a área da superfície gerada pela revolução em torno do eixo x. O conteúdo aqui é área de superfície de revolução e vamos usar a fórmula
S ;=; integrala^b 2pi,y,raiz1+l(y'r)^2,dx

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y' ;=;ddxl(tfrac1xr) ;=;-,1x^2
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1+l(y'r)^2 =1+1x^4 =x^4+1x^4,
e
raiz1+l(y'r)^2 =raizx^4+1x^2

Passo 3

Substituindo na fórmula de S, obtemos
S =2piintegral1^21x;raizx^4+1x^2,dx =2piintegral1^2raizx^4+1x^3,dx

Passo 4

Fazemos a substituição t=x^2, então dt=2x,dx e dx=dt/(2raiz t). Quando x=1 temos t=1; quando x=2, t=4. Além disso
raizx^4+1x^3,dx =raizt^2+1t^3/2;dt2raiz t =raizt^2+12,t^2,dt
Assim
S =2piintegralx=1^x=2raizx^4+1x^3,dx =2piintegralt=1^t=4raizt^2+12,t^2,dt =piintegral1^4raizt^2+1t^2,dt

Passo 5

Para integrar escrevemos
Note que
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Passo 6

Voltando ao nosso e avaliando de a :
Como , temos e . Portanto

Resposta

boxedS=pil(ln(4+raiz17)-ln(1+raiz2)+raiz2-tfracraiz174r)

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