Se \mathbf{A}=(2 y+3) \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+(y z-x) \mathbf{k}, calcular \int_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r} ao longo dos seguintes trajetos C :
(a) x=2 t^{2}, y=t, z=t^{3} de t=0 a t=1;

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial \mathbf{A}(x,y,z) = (2y + 3)\,\mathbf{i} + (xz)\,\mathbf{j} + (yz - x)\,\mathbf{k}
e a curva C parametrizada por
\mathbf{r}(t) = (\,x(t),y(t),z(t)\,) = \bigl(2t^{2},\,t,\,t^{3}\bigr), \quad 0 \le t \le 1.
Queremos calcular a integral de linha
\int_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} =\int_{0}^{1}\mathbf{A}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calculamos a derivada da parametrização:
\mathbf{r}'(t) = \bigl(x'(t),y'(t),z'(t)\bigr) =\bigl(4t,\,1,\,3t^{2}\bigr).

Passo 3

Substituímos \mathbf{r}(t) em \mathbf{A}:
\mathbf{A}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl(2y+3,\;xz,\;yz - x\bigr) =\bigl(2t+3,\;2t^{2}\cdot t^{3},\;t\cdot t^{3}-2t^{2}\bigr) =\bigl(2t+3,\;2t^{5},\;t^{4}-2t^{2}\bigr).

Passo 4

Fazemos o produto escalar \mathbf{A}(r(t))\cdot \mathbf{r}'(t):
\mathbf{A}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot \mathbf{r}'(t) =(2t+3)\cdot 4t +2t^{5}\cdot 1 +(t^{4}-2t^{2})\cdot 3t^{2}.
Simplificando,
(2t+3)\,4t = 8t^{2}+12t, \quad 2t^{5}, \quad (t^{4}-2t^{2})\,3t^{2} = 3t^{6}-6t^{4}.
Logo o integrando é
8t^{2}+12t+2t^{5}+3t^{6}-6t^{4}.

Passo 5

Integramos termo a termo de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(8t^{2}+12t+2t^{5}+3t^{6}-6t^{4}\bigr)\,dt = \Bigl[\tfrac{8}{3}t^{3}+6t^{2}+\tfrac{2}{6}t^{6} +\tfrac{3}{7}t^{7}-\tfrac{6}{5}t^{5}\Bigr]_{0}^{1}.
Avaliando em t=1 e t=0:
\tfrac{8}{3}+6+\tfrac{1}{3}+\tfrac{3}{7}-\tfrac{6}{5} =3+6+\tfrac{3}{7}-\tfrac{6}{5} =9 - \tfrac{27}{35} = \tfrac{288}{35}.

Resposta

\int_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} = \frac{288}{35}.

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