Se \mathbf{A}=(2 y+3) \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+(y z-x) \mathbf{k}, calcular \int_{C} \mathbf{A} \cdot d \mathbf{r} ao longo dos seguintes trajetos C :
(b) as retas que ligam sucessivamente os pontos (0,0,0),(0,0,1),(0,1,1) \mathrm{e}(2,1,1)

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha \displaystyle \int_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}
onde \mathbf{A}(x,y,z)=(2y+3)\,\mathbf{i}+xz\,\mathbf{j}+(yz-x)\,\mathbf{k}
e C é o caminho poligonal que vai de (0,0,0) a (0,0,1), depois a (0,1,1) e finalmente a (2,1,1).
Para resolver, vamos parametrizar cada segmento, calcular \mathbf{A} e d\mathbf{r} e integrar.

Passo 2

Segmento C_{1}\colon (0,0,0)\to(0,0,1).
Parametrização
\mathbf{r}_{1}(t)=(0,0,t),\quad t\in[0,1],
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d\mathbf{r}_{1}=(0,0,1)\,dt.
Em \mathbf{r}_{1}(t) temos \displaystyle \mathbf{A}(0,0,t)=(2\cdot 0+3)\,\mathbf{i}+0\cdot t\,\mathbf{j}+(0\cdot t-0)\,\mathbf{k}=3\,\mathbf{i}.
Então
\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}_{1} =3\cdot0+0\cdot0+0\cdot1 =0
e
\int_{C_{1}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=0.

Passo 3

Segmento C_{2}\colon (0,0,1)\to(0,1,1).
Parametrização
\mathbf{r}_{2}(t)=(0,t,1),\quad t\in[0,1],
d\mathbf{r}_{2}=(0,1,0)\,dt.
Em \mathbf{r}_{2}(t) \displaystyle \mathbf{A}(0,t,1)=(2t+3)\,\mathbf{i}+0\cdot1\,\mathbf{j}+(t\cdot1-0)\,\mathbf{k}=(2t+3)\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{k}.
Então
\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}_{2} =(2t+3)\cdot0+0\cdot1+t\cdot0 =0
e
\int_{C_{2}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}=0.

Passo 4

Segmento C_{3}\colon (0,1,1)\to(2,1,1).
Parametrização
\mathbf{r}_{3}(t)=(t,1,1),\quad t\in[0,2],
d\mathbf{r}_{3}=(1,0,0)\,dt.
Em \mathbf{r}_{3}(t) \displaystyle \mathbf{A}(t,1,1)=(2\cdot1+3)\,\mathbf{i}+t\cdot1\,\mathbf{j}+(1\cdot1-t)\,\mathbf{k} =5\,\mathbf{i}+t\,\mathbf{j}+(1-t)\,\mathbf{k}.
Assim
\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}_{3} =5\cdot1 + t\cdot0 + (1-t)\cdot0 =5,
e
\int_{C_{3}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} = \int_{0}^{2}5\,dt =10.

Passo 5

Somando as três integrais:
\int_{C}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} =\int_{C_{1}}+\int_{C_{2}}+\int_{C_{3}} =0+0+10 =10.

Resposta

10

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