Achar a transformação linear T: R^3 R^3 que leva o ponto (x, y, z) em sua reflexão através do plano x y.

Passo 1

O enunciado pede a transformação linear de reflexão de um ponto (x,y,z) no plano xy (ou seja, no plano definido por z=0). O conteúdo aqui é reconhecer que uma reflexão num subespaço linear deixa inalteradas as componentes paralelas ao plano e inverte a componente normal a ele.

Passo 2

Para refletir em relação ao plano xy, mantemos as projeções ao longo de x e y e trocamos o sinal da projeção ao longo de z. Logo,
T(x,y,z) = (x,y,-z)

Passo 3

Vendo a ação sobre a base canônica:
e1=(1,0,0)mapsto(1,0,0)=e1, e2=(0,1,0)mapsto(0,1,0)=e2, e3=(0,0,1)mapsto(0,0,-1)=-e3
Isso mostra que, na base canônica, os autovalores são 1,1,-1 respectivamente.

Passo 4

A matriz de T em relação à base canônica é diagonal com entradas 1, 1 e -1:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

Resposta

A transformação é
T(x,y,z) = (x,y,-z)
e sua matriz na base canônica é
1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1

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