Achar a transformação linear
que leva o ponto
em sua reflexão através do plano
.
Passo 1
O enunciado pede a transformação linear de reflexão de um ponto
no plano
(ou seja, no plano definido por
). O conteúdo aqui é reconhecer que uma reflexão num subespaço linear deixa inalteradas as componentes paralelas ao plano e inverte a componente normal a ele.
Passo 2
Para refletir em relação ao plano
, mantemos as projeções ao longo de
e
e trocamos o sinal da projeção ao longo de
. Logo,
Passo 3
Vendo a ação sobre a base canônica:
Isso mostra que, na base canônica, os autovalores são
respectivamente.
Passo 4
A matriz de
em relação à base canônica é diagonal com entradas 1, 1 e
:
Resposta
A transformação é
e sua matriz na base canônica é