Seja F: V R^5 uma transformação linear.
(a) Se F é sobrejetora e dim N(F)=2, qual é a dim(V) ?
(b) Se F é injetora e sobrejetora, qual é a dim(V) ?

Passo 1

O enunciado considera uma transformação linear F:VtoR^5 e faz duas perguntas:
(a) quando F é sobrejetora e dim N(F)=2, qual é dim V?
(b) quando F é injetora e sobrejetora, qual é dim V?
Vamos usar o Teorema do Posto-Nulidade e a ideia de isomorfismo.

Passo 2

O Teorema do Posto-Nulidade diz que
dim V ;=;dim N(F);+;dim Im(F)
Se F é sobrejetora então Im(F)=R^5 e, consequentemente,
dim Im(F)=5. Como também dim N(F)=2, temos
dim V = 2 + 5 = 7

Passo 3

Quando F é injetora e sobrejetora ela estabelece um isomorfismo entre V e R^5. Num isomorfismo, as dimensões do domínio e do contradomínio coincidem. Logo
dim V = dim R^5 = 5

Resposta

(a) ,7
(b) ,5

Exercícios relacionados