Seja
uma transformação linear.
(a) Se
é sobrejetora e
, qual é a
?
(b) Se
é injetora e sobrejetora, qual é a
?
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado considera uma transformação linear
e faz duas perguntas:
(a) quando é sobrejetora e
, qual é
?
(b) quando é injetora e sobrejetora, qual é
?
Vamos usar o Teorema do Posto-Nulidade e a ideia de isomorfismo.
(a) quando
(b) quando
Vamos usar o Teorema do Posto-Nulidade e a ideia de isomorfismo.
Passo 2
O Teorema do Posto-Nulidade diz que
Se
é sobrejetora então
e, consequentemente,
. Como também
, temos
Passo 3
Quando
é injetora e sobrejetora ela estabelece um isomorfismo entre
e
. Num isomorfismo, as dimensões do domínio e do contradomínio coincidem. Logo
Resposta
(a)
(b)
(b)