Encontrar a transformação linear que leva um ponto em:
(a) sua reflexão em torno da reta .
(b) sua reflexão através da origem.
(c) sua projeção ortogonal sobre o eixo .
Passo 1
O enunciado pede para a gente encontrar, em cada caso, a transformação linear
que faz:
(a) reflexão em torno da reta ,
(b) reflexão através da origem,
(c) projeção ortogonal no eixo .
O conteúdo aqui é representar cada transformação pela sua matriz na base canônica, usando que basta saber como age em e .
Passo 2
Para montar a matriz de na base canônica, a gente calcula
e coloca esses vetores como colunas na matriz de :
Passo 3
(a) Reflexão em torno da reta .
Geometricamente isso manda cada ponto em . Logo
Colocando como colunas, a matriz é
Passo 4
(b) Reflexão através da origem.
Isso é a rotação de 180^circ, ou seja (x,y)mapsto(-x,-y). Então
T( e1)=(-1,0), T( e2)=(0,-1),
e a matriz fica
[T] = -1 & 0 0 & -1
Passo 5
(c) Projeção ortogonal sobre o eixo x.
Aqui (x,y)mapsto(x,0). Assim