Encontrar a transformação linear T: R^2 R^2 que leva um ponto (x, y) em:
(a) sua reflexão em torno da reta y=-x.
(b) sua reflexão através da origem.
(c) sua projeção ortogonal sobre o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para a gente encontrar, em cada caso, a transformação linear
T: R^2to R^2
que faz:
(a) reflexão em torno da reta y=-x,
(b) reflexão através da origem,
(c) projeção ortogonal no eixo x.
O conteúdo aqui é representar cada transformação pela sua matriz na base canônica, usando que basta saber como T age em e1=(1,0) e e2=(0,1).

Passo 2

Para montar a matriz de T na base canônica, a gente calcula
T( e1)e T( e2),
e coloca esses vetores como colunas na matriz de T:
[T] = l[,T( e1);;T( e2)r]

Passo 3

(a) Reflexão em torno da reta y=-x.
Geometricamente isso manda cada ponto (x,y) em (-y,-x). Logo
T( e1)=T(1,0)=(0,-1), T( e2)=T(0,1)=(-1,0)
Colocando como colunas, a matriz é
[T] = 0 & -1 -1 & 0

Passo 4

(b) Reflexão através da origem.
Isso é a rotação de 180^circ, ou seja (x,y)mapsto(-x,-y). Então
T( e1)=(-1,0), T( e2)=(0,-1),
e a matriz fica
[T] = -1 & 0 0 & -1

Passo 5

(c) Projeção ortogonal sobre o eixo x.
Aqui (x,y)mapsto(x,0). Assim
T( e1)=(1,0), T( e2)=(0,0),
e a matriz é
[T] = 1 & 0 0 & 0

Resposta

(a) T(x,y)=(-y,-x),
[T]= 0 & -1 -1 & 0
(b) T(x,y)=(-x,-y),
[T]= -1 & 0 0 & -1
(c) T(x,y)=(x,0),
[T]= 1 & 0 0 & 0

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