Considere T: R^3 R^3 dada por T(x, y, z)=(x, y, 0). Qual é o núcleo e a imagem da transformação linear? Neste caso, o que representam estes conjuntos geometricamente? Qual a relação entre a dimensão da imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão do domínio da transformação?

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x,y,0),
e pede (a) o núcleo ker(T), (b) a imagem Im(T), (c) a interpretação geométrica desses subespaços e (d) a relação entre diml(ker(T)r), diml(Im(T)r) e dim(R^3). Para resolver, vamos usar a definição de núcleo e imagem de uma transformação linear e o teorema do posto-nulidade.

Passo 2

Encontrando o núcleo . Por definição,
A condição equivale a
mas fica livre. Logo

Passo 3

Determinando a imagem . Por definição,
Ou seja,

Passo 4

Interpretação geométrica:
  • ker(T) é a reta passando pela origem paralela ao eixo z (o “eixo z”).
  • Im(T) é o plano passando pela origem formado por todos os vetores cujo terceiro componente é zero (o “plano xy”).

Passo 5

Dimensões e relação posto-nulidade:
diml(ker(T)r)=1, diml(Im(T)r)=2, dim(R^3)=3
O teorema do posto-nulidade diz que
diml(ker(T)r)+diml(Im(T)r) =dim(R^3),
isto é, 1+2=3.

Resposta

ker(T)=(0,0,z)mid zinR, reta paralela ao eixo z.
Im(T)=(x,y,0)mid x,yinR, plano xy.
E vale dim(ker T)+dim(ImT)=1+2=3.

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