Considere
dada por
. Qual é o núcleo e a imagem da transformação linear? Neste caso, o que representam estes conjuntos geometricamente? Qual a relação entre a dimensão da imagem, a dimensão do núcleo e a dimensão do domínio da transformação?
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
e pede (a) o núcleo
, (b) a imagem
, (c) a interpretação geométrica desses subespaços e (d) a relação entre
,
e
. Para resolver, vamos usar a definição de núcleo e imagem de uma transformação linear e o teorema do posto-nulidade.
Passo 2
Encontrando o núcleo
. Por definição,
A condição
equivale a
mas
fica livre. Logo
Passo 3
Determinando a imagem
. Por definição,
Ou seja,
Passo 4
Interpretação geométrica:
-
é a reta passando pela origem paralela ao eixo (o “eixo ”). -
é o plano passando pela origem formado por todos os vetores cujo terceiro componente é zero (o “plano ”).
Passo 5
Dimensões e relação posto-nulidade:
O teorema do posto-nulidade diz que
isto é,
.
Resposta
E vale