Seja T: U V uma aplicação linear entre espaços vetoriais reais. Mostre que
(a) Se T é transformação linear, então T(0U)=0V.(Transformação linear leva vetor nulo em vetor nulo).
(b) T é transformação linear se, e somente se, T(alpha u+beta v)=alpha T(u)+beta T(v), para quaisquer u, v in U e alpha, beta in R.

Passo 1

O enunciado pede para um Tcolon Uto V linear entre espaços vetoriais reais que se prove:
  1. T(0U)=0V.
  2. A definição de linearidade (adiitividade e homogeneidade) é equivalente à condição
T(alpha u+beta v)=alpha T(u)+beta T(v)
para quaisquer u,vin U e alpha,betainR.

Passo 2

Para (a), use a homogeneidade com escalar zero. Em qualquer espaço vetorial vale
0cdot u=0U
Como T é linear,
T(0U) =T(0cdot u) =0cdot T(u) =0V

Passo 3

Mostramos agora “ !Rightarrow!”. Se T satisfaz
T(u+v)=T(u)+T(v) e T(alpha u)=alpha T(u), então para quaisquer u,v e alpha,beta
T(alpha u+beta v) =T(alpha u)+T(beta v) =alpha T(u)+beta T(v)

Passo 4

Mostramos “ !Leftarrow!”. Suponha que
T(alpha u+beta v)=alpha T(u)+beta T(v) forall,u,v,alpha,beta
Tomando alpha=1 e beta=1 segue
T(u+v)=1cdot T(u)+1cdot T(v)=T(u)+T(v),
isto é, aditividade.
Tomando v qualquer e beta=0
T(alpha u)=T(alpha u+0cdot v) =alpha T(u)+0cdot T(v) =alpha T(u),
isto é, homogeneidade. Logo T é linear.

Resposta

(a) T(0U)=0V
(b) A propriedade
T(u+v)=T(u)+T(v), T(alpha u)=alpha T(u)
é equivalente à condição
T(alpha u+beta v)=alpha T(u)+beta T(v),
para quaisquer u,vin U e alpha,betainR.

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