Seja
uma aplicação linear entre espaços vetoriais reais. Mostre que
(a) Se
é transformação linear, então
.(Transformação linear leva vetor nulo em vetor nulo).
(b)
é transformação linear se, e somente se,
, para quaisquer
e
.
(a) Se
(b)
Passo 1
O enunciado pede para um
linear entre espaços vetoriais reais que se prove:
-
. - A definição de linearidade (adiitividade e homogeneidade) é equivalente à condição
para quaisquer
e
.
Passo 2
Para (a), use a homogeneidade com escalar zero. Em qualquer espaço vetorial vale
Como
é linear,
Passo 3
Mostramos agora “
”. Se
satisfaz
e
, então para quaisquer
e
Passo 4
Mostramos “
”. Suponha que
Tomando
e
segue
isto é, aditividade.
Tomando qualquer e
dá
Tomando
isto é, homogeneidade. Logo
é linear.
Resposta
(a)
(b) A propriedade
(b) A propriedade
é equivalente à condição
para quaisquer
e
.